[Risolto] Problema fisica - pendolo

Il pendolo semplice consiste di:
* un punto materiale P di massa m, sospeso a
* un filo inestensibile di massa trascurabile lungo L ed ancorato a
* una sospensione a cerniera con attrito trascurabile.
Il pendolo si muove in un campo di forze uniforme e costante con accelerazione g e si dice in regime di "piccole oscillazioni" se la massima elongazione Θ rispetto a g è tale che la differenza relativa
* δ = (Θ - sin(Θ))/Θ
risulti trascurabile.
Note
1) Standard SI: chilogrammo, metro, secondo, radiante; g = 9.80665 m/s^2.
2) Il significato quantitativo di "trascurabile" dipende dalla natura della singola situazione.
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Nel punto più basso dell'oscillazione P dista L dalla sospensione.
All'elongazione θ P dista L*cos(θ) dalla sospensione, quindi la sua quota è salita di
* h(θ) = L*(1 - cos(θ))
aumentando la sua energia potenziale di
* ΔU(θ) = m*g*h = m*g*L*(1 - cos(θ))
a scapito dell'energia cinetica nel punto più basso dell'oscillazione, che è la massima.
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Alla quota del punto più basso dell'oscillazione, assunta come zero delle quote, P ha la massima velocità V in quanto la sua energia meccanica
* E = K + U
avendo U = 0 (quota = 0) consiste della sola energia cinetica
* K(0) = m*V^2/2
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All'elongazione θ, con velocità v(θ) < V, l'energia cinetica è
* K(θ) = m*v^2/2 = (m/2)*(V^2 - 2*g*L*(1 - cos(θ)))
da cui
* v(θ) = √(V^2 - 2*g*L*(1 - cos(θ)))
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NEL CASO IN ESAME
Con
* m = 0.80 = 4/5 kg
* L = 2 m
* θ = 50° = (5/18)*π rad
* K(0) = m*V^2/2 = (4/5)*V^2/2 = 10 J ≡ V = 5 m/s
si ha
* v(50°) = √(5^2 - 2*9.80665*2*(1 - cos(50°))) ~= 3.31478 ~= 3.31 m/s

10 = m*g*Δh 

Δh = 10/(m*g) = 10*1,25/9,806 = 1,275 m = L(1-cos Θo)

(1-cos Θo) = 1,275/2  = 0,6374

cos Θo = 0,3626

Θo = arccos 0,3626 = 68,74°

Δh' = L(1-cos Θ) = 2,00*(1-cos 50°) = 0,714 m 

E' = 10-m*g*(Δh-Δh') = 10-0,8*9,806*(1,275-0,714) = 5,6045 joule = m/2*V^2

V = √5,6045*2*1,25 = √14,0 = 3,743 m/sec 

Puoi usare la conservazione dell'energia, prendendo il punto più basso come livello zero dell'energia potenziale. 

Quindi : essendo

h = L - L cos @ = L (1 - cos @) 

e inoltre 

m g h + 1/2 m v^2 = Ec0 = 10 

puoi trarre passo - passo

0.8 [ 9.8 * 2 * (1 - cos 50°) + v^2/2 ] = 10

19.6 * (1 - cos 50°) + v^2/2 = 12.5 

v^2 = 25 - 39.2 + 39.2* cos 50° 

v = rad (-14.2 + 39.2*0.6428) m/s = 3.32 m/s