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[Risolto] Problema Fisica

  

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Dato un condensatore piano nel vuoto, con armature circolari di area S= 1m^2 e distanti tra loro d=1mm. All'istante iniziale t=0, il condensatore è carico alla tensione Vo=100V. A partire dall'istante t=0, il condensatore viene scaricato su una resistenza R=10^6 ohm. Nel medesimo istante t=0, una particella di massa M=10^-14kg e di carica Q=1,6 x 10^-19 C viene abbandonata con velocità nulla nel punto centrale dell'asse delle armature.

  1. Si calcoli la velocità della particella all'istante t*=8,86ms?
  2. Si dimostri che all'istante t* la particella non ha già urtato l'armatura del condensatore
  3. Il campo magnetico esistente nel condensatore può perturbare il moto della particella?

 

salve,mi servirebbe lo svoglimento di questo problema:

Immagine 2022 08 18 152528

 Grazie!

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@lukegemini 

energia cinetica della particella che parte da ferma nel centro del condensatore carico, che però si scarica su R.

1/2 m v^2 = (Vo - V1)* Q;

Vo = 100 Volt;

Ci vuole la capacità del condensatore:

d = 1 mm = 10^-3 m; Area = 1 m^2;

C =  εo * Area/d = 8,859 * 10^-12 * 1 / (10^-3) = 8,859 * 10^-9 Farad

RC = 10^6 * 8,859 * 10^-9 = 8,86 * 10^-3 s = 8,86 ms(tempo caratteristico del condensatore).

V1 = Vo * e^(- t/RC); il condensatore si scarica con questa legge esponenziale:

t = 8,86 ms = 8,86 * 10^-3 s; il condensatore si è scaricato fino a V1:

V1 = 100 * e^(- 8,86 / 8,86) = 100 * e^-1 = 100 / e;

V1 = 100 / 2,718 = 36,8 V;

1/2 m v^2 = (100 - 36,8) * 1,6 * 10^-19;

v^2 = 2 * 63,2 * 1,6 * 10^-19 / m;

m = 10^-14 kg;

v = radice(2,0224 * 10^-17 / 10^-14) = radice(2,0224 * 10^-3) = 0,045 m/s;

accelerazione:

a = (v - vo) / t = 0,045 / (8,86 * 10^-3) = 5,08 m/s^2;

Spazio percorso dalla particella:

S = 1/2 a t^2 = 1/2 * 5,08 * (8,86 * 10^-3)^2 = 2,0 * 10^-4 m = 0,2 mm; (spazio percorso).

Posizione di partenza a metà fra le armature; So = 0,5 mm;

la particella si trova a distanza d = 0,5 - 0,2 = 0,3 mm. Non ha raggiunto l'armatura.

image

campi elettrici variabili nel tempo producono campi magnetici variabili nel tempo
che a loro volta producono campi elettrici variabili nel tempo (onda elettromagnetica)

 La particella non risente del campo magnetico...



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Dato un condensatore piano nel vuoto, con armature circolari di area S= 1m^2 e distanti tra loro d=1mm. All'istante iniziale t=0, il condensatore è carico alla tensione Vo=100V. A partire dall'istante t=0, il condensatore viene scaricato su una resistenza R=10^6 ohm. Nel medesimo istante t=0, una particella di massa M=10^-14kg e di carica Q=1,6 x 10^-19 C viene abbandonata con velocità nulla nel punto centrale dell'asse delle armature.

  1. Si calcoli la velocità della particella all'istante t*=8,86ms?
  2. Si dimostri che all'istante t* la particella non ha già urtato l'armatura del condensatore
  3. Il campo magnetico esistente nel condensatore può perturbare il moto della particella?

 

salve,mi servirebbe lo svoglimento di questo problema:

...

C = eps0*S/d = 8.8542*10^-12 * 1/0.001 =~ 8.8542*10^-9 F
tau = R*C = 10^6*8.8542*10^-9 = ~ 0.00886 s =8.86 ms = t*

vc(t) = Vo*e^(-t/tau)    --->  E(t) = vc(t)/d 

F = M*a(t) = M*dv/dt  = Q*E(t)  ---> dv/dt = Q*E(t)/M

 v(t*) = v(tau) = intg(fra t = 0 a t=t*)dv/dt *dt = intg(fra t = 0 a t=t*)Q*vc(t)/(Md)* dt = (Q/(Md) intg(fra t = 0 a t=t*)vc(t) dt = (Q*Vo/(Md) intg(fra t = 0 a t=t*)(e^(-t/tau)) dt = (Q*Vo/(Md) intg(fra t = 0 a t=t*)(e^(-t/tau)) dt  = (Q*Vo(tau)(e - 1)/(Md*e) = (1.6*10^-19*100/(10^-14*10^-3)8.86*10^-3*(e-1)/e =0.00896094... m/s   ... controlla!

 

integral_0^a e^(-t/a) dt = ((e - 1) a)/e     .... con a = tau = t*

 

(2)

tenendo presenti i seguenti tratti da wolfram {ma anche direttamente...}

integral_0^t ( e^(-t/a)) dt = integral_0^t e^(-t/a) dt = a(1 - e^(-t/a))

integral_0^a (1 - e^(-t/a)) dt = a/e

 

v(t) = (Q*Vo/(Md)tau (1 -  e^(-t/tau) ) = ds/dt 

 

s(t*)= intg(fra s(0) e s(t*)) ds  = intg(fra 0 e t*) v(t)dt = (Q*Vo(tau)/(Md)  intg(fra 0 e t*) (1-e^(-t/tau))  dt = (Q*Vo*tau/(Md) (tau) /(e)= (Q*Vo*tau²/(Md)/(e) = (1.6*10^-19*100/(10^-14 *10^-3)(8.86*10^-3)^2/e  =0.0000462054... < d= 0.001 m  

 

(3) no https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6735eeefabe4290d8e9d15dbb5d332eb47df3f59

... sull'asse , dove si muove la particella, il valore di B ( o di H = B/mu0) è nullo.



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