Problema esame

la prima condizione è giusta

f(4)=10 

Tutto il resto no.

f(4)=10 contiene infatti due parametri h e k.

Cosa ė sfuggito ?

Massimo !!

Derivate !!

Bisogna imporre che f(x) abbia un massimo relativo in x=4, quindi bisogna derivare la funzione e poi porre uguale a zero la derivata prima in x=4.

Ricorda la derivata prima si annulla nei punti stazionari.

Dall’equazione f’(4)=0 trovi h

Ora sostituisci h in f(x)  e risolvi la condizione posta all’inizio ovvero:

f(4)=10

Ora puoi risolverla perché h è noto resta solo k.

Prova e vediamo se riesci 💪

Nella mia risposta di ieri, al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/59114/
t'avevo dato un buon suggerimento «Scegli uno o al massimo un paio di punti, trascrivili in una nuova risposta dove la foto serva solo come riferimento e non come testo della domanda, e descrivi chiaramente che cosa non ti sta bene di quel paio di punti.» dicendoti che «A una richiesta fatta così sarò felice di rispondere.».
Con questa domanda hai seguito solo una parte del suggerimento e quindi ti rispondo anche senza esserne felice.
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Il punto #1 chiede di determinare i valori dei parametri (h, k) reali positivi della funzione di x >= 0
* f(x) = y = k*(x + 1)*e^(4/5 - h*x)
in modo tale da avere il massimo
* f(x) <= f(4) = 10
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La condizione di massimo relativo è
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0)
e nella fattispecie diventa
* (- k*(h*(x + 1) - 1)*e^(4/5 - h*x) = 0) & (h*k*(h*(x + 1) - 2)*e^(4/5 - h*x) < 0) & (x >= 0) & (h > 0) & (k > 0)
che, per semplicità dattilografica, conviene scomporre, risolvere, ricomporre.
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* f'(x) = - k*(h*(x + 1) - 1)*e^(4/5 - h*x) = 0 ≡
≡ (k = 0) oppure (h != 0) & (x = (1 - h)/h)
intersecandola con le condizioni restrittive si ha
* f'(x) = 0 ≡
≡ (x = (1 - h)/h) & (0 < h <= 1)
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Sostituendo in f''(x) si ha
* f''((1 - h)/h) = h*k*(h*((1 - h)/h + 1) - 2)*e^(4/5 - h*(1 - h)/h) =
= - h*k*e^(h - 1/5) < 0 ovunque
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Quindi da
* ((1 - h)/h = 4) & (k*((1 - h)/h + 1)*e^(4/5 - h*(1 - h)/h) = 10) ≡
≡ (h = 1/5) & (k*((1 - 1/5)/(1/5) + 1)*e^(4/5 - (1/5)*(1 - 1/5)/(1/5)) = 10) ≡
≡ (h = 1/5) & (5*k = 10) ≡
≡ (h = 1/5) & (k = 2)
si ha il risultato
* f(x) = y = 2*(x + 1)*e^((4 - x)/5)
che mostra un'ulteriore sconcertante proprietà del magico Dott. Rossi (quello che ieri si faceva i modellizzi): la concentrazione dei farmaci che inietta non parte da zero come per tutte le iniezioni di questo mondo.
Macché!
I nostri competentissimi quattro autori (?!?) fanno curare un'infezione virale con un antibiotico che, per le sue stupefacenti proprietà endocroniche, dev'essere un derivato della tiotimolina risublimata di cui il celebre chimico Dott. Aasimov dette ampio conto già nel 1948, e soprattutto dal 1966 in poi.
Infatti
* f(- 1) = 0
* f(0) = 2*e^(4/5) ~= 4.45 mg/L
com'è facile verificare de visu al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y*%28x-4%29*%28y-10%29%3D0%2Cy%3D2*%28x--1%29*e%5E%28%284-x%29%2F5%29%5Dx%3D-1to9%2Cy%3D-1to11

f(4) = 10 mg/L; massima concentrazione.

In f(4) la funzione deve avere un massimo:

f'(x) = 0; per x = 4 ore.

derivata prima di un prodotto:

f'(x) = k *e^(4/5 - hx) + k (x + 1) * e^(4/5 - hx)* (-h);

f'(x) = k * e^(4/5 - hx) * [1 - h(x + 1)] = 0

k * e^(4/5 - hx) > 0; perché k è positivo e la funzione esponenziale è sempre positiva.

1 - h (x + 1) = 0;

h = 1/(x + 1);

Per x = 4;

h = 1/(4 + 1) = 1/5;

f(4) = 10 mg/Litro.

f(4) = k * (4 + 1) * e^(4/5 - 1/5 * 4);

10 = k * 5 * e^0 ;

10 = k * 5 * 1

k = 10/5 = 2;

f(x) = 2 * (x + 1) * e^(4/5 - 1/5 x).

Ciao @frank9090

avevo sbagliato per la fretta....