[Risolto] Esercizio su fasci circonferenze

Ciao di nuovo.

Determiniamo la retta passante per i due punti base che adesso individuiamo.

Il triangolo è rettangolo isoscele. Chiamiamo con x un suo cateto.

Α = 1/2·x^2------> 25/2 = 1/2·x^2------> x = -5 ∨ x = 5 

Dovendo essere il triangolo definito nel 4° quadrante i punti che vengono subito individuati sono

P1(0,-5) e P2(5,0) (essendo la bisettrice del primo quadrante y=x con m=1)

La retta che passa per essi è asse radicale per tale fascio:

y=x-5----------> x-y-5=0

D'altra parte una circonferenza che passa sicuramente per i punti trovati è

x^2+y^2=25------------> x^2+y^2-25=0

Quindi il fascio di circonferenze in questione può scriversi:

(x^2 + y^2 - 25) + k·(x - y - 5) = 0

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Circonferenza per A(1,0)

(1^2 + 0^2 - 25) + k·(1 - 0 - 5) = 0

- 4·k - 24 = 0-----> k = -6

(x^2 + y^2 - 25) + (-6)·(x - y - 5) = 0

x^2 + y^2 - 6·x + 6·y + 5 = 0   circonferenza  γ1

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Scrivi l'equazione del fascio di circonferenze concentriche a Y1 e determina la circonferenza Y2 del fascio tangente alla retta 2x - 3y + 11 = 0.

Scriviamo: x^2 + y^2 - 6·x + 6·y + k = 0

Quindi:

{x^2 + y^2 - 6·x + 6·y + k = 0

{2x - 3y + 11 = 0

Risolviamo per sostituzione

x = (3·y - 11)/2-----> ((3·y - 11)/2)^2 + y^2 - 6·((3·y - 11)/2) + 6·y + k = 0

(9·y^2/4 - 33·y/2 + 121/4) + y^2 - (9·y - 33) + 6·y + k = 0

13·y^2/4 - 39·y/2 + (4·k + 253)/4 = 0

13·y^2 - 78·y + (4·k + 253) = 0

condizione di tangenza

Δ/4 = 0-------> (78/2)^2 - 13·(4·k + 253) = 0------> - 52·(k + 34) = 0

Quindi: k = -34-------> x^2 + y^2 - 6·x + 6·y - 34 = 0    circonferenza γ2

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x^2 + y^2 - 6·x + 6·y + 5 = 0

x^2 + y^2 - 6·x + 6·y - 34 = 0

Il raggio della prima circonferenza è:

r = √(3^2 + (-3)^2 - 5) = √13

Il raggio della seconda circonferenza è:

R = √(3^2 + (-3)^2 + 34) = 2·√13

L'area della corona circolare è:

A = pi·(R^2 - r^2) = pi·((2·√13)^2 - √13^2) = 39·pi

A) Le parallele alla bisettrice dei quadranti dispari sono
* y = x + q ≡ x/q + y/(- q) = 1
e, per q > 0, formano triangolo nel quarto quadrante con area q^2/2 (semiprodotto dei cateti).
* (q^2/2 = 25/2) & (q > 0) ≡ q = 5
da cui
* y = x + 5
con punti d'intercetta
* X(5, 0), Y(0, - 5)
L'asse del segmento XY è la bisettrice dei quadranti pari, y = - x.
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Tutte e sole le circonferenze per X e Y hanno centro C(k, - k) sull'asse di XY e per raggio r la comune distanza
* |CX| = |CY| = r(k) = √(k^2 + (k - 5)^2) = √(2*k^2 - 10*k + 25)
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Il fascio richiesto risulta
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y + k)^2 = (2*k^2 - 10*k + 25)
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B) La condizione d'appartenenza di A(1, 0)
* (1 - k)^2 + (0 + k)^2 = (2*k^2 - 10*k + 25) ≡
≡ k = 3
dà luogo a
* Γ1 ≡ Γ(3) ≡ (x - 3)^2 + (y + 3)^2 = (√13)^2
con
* r(3) = √13
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C1) L'equazione del fascio di circonferenze concentriche a Γ1 è
* Γ1(R) ≡ (x - 3)^2 + (y + 3)^2 = q = R^2
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C2) La retta
* t ≡ 2*x - 3*y + 11 = 0 ≡ y = (2*x + 11)/3
messa a sistema col fascio Γ1(R)
* t & Γ1(R) ≡ (y = (2*x + 11)/3) & ((x - 3)^2 + (y + 3)^2 = q)
dà la risolvente
* (x - 3)^2 + ((2*x + 11)/3 + 3)^2 - q = 0 ≡
≡ 13*x^2 + 26*x + (481 - 9*q) = 0
con discriminante
* Δ(q) = 468*(q - 52)
che, per la tangenza, deve azzerarsi dando
* q = 52 ≡ R = 2*√13
* Γ2 ≡ Γ1(2*√13) ≡ (x - 3)^2 + (y + 3)^2 = (2*√13)^2
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D) L'area S della corona circolare fra circonferenze di raggi r < R è
* S = π*(R + r)*(R - r)
che, per r = √13 ed R = 2*√13, dà
* S = π*(2*√13 + √13)*(2*√13 - √13) = 39*π ~= 122.5