a) Studia il fascio di parabole di equazione y = kx^2 - 2x (4k - 1) + 16 k - 7 indicando le parabole degeneri e i punti base.
b) Tra le parabole del fascio individua quella tangente all'asse delle ascisse e indica con A il punto di intersezione con l'asse delle ordinate
c) Nell'arco di parabola di estremi A e B, dove B è il punto base del fascio dato, individua i punti che formano con AB un triangolo di area 6
Risposte a) parabole tangenti a 2x - y - 7= 0 nel punto (4; 1) , con asse di simmetria parallelo all'asse y; b) y = x^2 - 6x + 9 , A (0; 9) ; c) C1 (1; 4), C2 (3; 0).
Ringrazio sentitamente tutti coloro che mi vorranno aiutare come ormai da tempo succede.
Riprendo determiniamo l'unico punto base del fascio tramite il sistema:
{x = 4
{2·x - y - 7 = 0----------> B(4,1)
Per tale punto passa la retta y = 2·x - 7 e che costituirà la tangente comune a tutte le parabole del fascio quindi è per esso, una parabola degenere ottenibile per k=0. L'altra parabola degenere è x=4 contata due volte come sopra messo in evidenza.
Ok grazie, eventualmente se non ti ricordassi, mi permetterò di inviarti un messaggio, perché le tue risposte le comprendo sempre bene e per me sono preziose. Buon appetito e buona serata.
Ciao grazie come sempre per le tue risposte molto chiare e ben esposte; c'è solo un'ultima cosa che vorrei chiederti : nell'esercizio fascio parabole quando alla fine hai trovato le 2 radici di x: x1= 3 oppure x2 = 1 come hai ricavato le ordinate delle coordinate di C1 e C2? Le ascisse sono ovviamente 3 e 1 , ma non capisco il procedimento per ottenere le rispettive ordinate 0 e 4. Ti ringrazio infinitamente se vorrai ancora una volta darmi una mano. Buona serata.
Ciao ci sono arrivato; basta sostituire prima 1 e poi 3 nell'equazione del fascio trovata nel punto b che è y = x^2 - 6x + 9 e si ottengono i valori 4 e 0 delle ordinate dei punti C1 e C2. Grazie per tutto e buon weekend
1
Per qualche giorno sono stato lontano da questo computer, salvo a inizio e a fine giornata, e anche oggi fra un po' dovrò uscire per andara a farmi vedere da un ulteriore medico (tutti fuori Roma, in questi giorni! Ci vuole pazienza anche per farsi certificare che senza ossigeno si muore, cosa che sanno anche i bambini.). Le righe precedenti l'avevo scritte fra le sette e le otto, poi sono uscito. Mo sono quasi le cinque e sono di ritorno da una lunghissima visita a settanta chilometri da casa. Non ho idea di quanto possa servirti una risposta dopo due giorni, ma per farmi perdonare il ritardo ti offrirò un paio di citazioni dalla più sintetica trattazione dell'argomento che ci sia in giro: il paragrafo http://it.wikipedia.org/wiki/Parabola_(geometria)#Fascio_di_parabole che ti consiglio di leggere, stampare e tenere come promemoria. ============================== A) Nel fascio di parabole * Γ(k) ≡ y = k*x^2 - 2*(4k - 1)*x + (16*k - 7) sviluppando e separando i termini parametrici si ha la forma * Γ(k) ≡ k*(x - 4)^2 + (2*x - y - 7) = 0 somma di due generatrici: la retta semplice "2*x - y - 7 = 0" e, moltiplicata per il parametro, la parabola degenere su due rette coincidenti parallele agli assi di simmetria "(x - 4)^2 = 0"; forma che è esattamente l'osservazione finale del paragrafo al link su citato «Si noti che in molti casi le due generatrici del fascio sono proprio una retta e una coppia di rette e che solitamente è la coppia di rette a venire moltiplicata per il parametro e ad essere quindi esclusa dal fascio.» Già questa trasformazione basta a soddisfare all'imprecisa consegna "indicando le parabole degeneri" (una retta è parabola degenere; l'altra, calata di grado, non è parabola: un ufficiale degradato non è più ufficiale!). Come coincidono le rette della parabola degenere così anche i punti base coincidono, formando un punto base doppio B(4, 1) di tangenza comune sulla retta semplice «I punti base di un fascio si ottengono mettendo a sistema le equazioni delle due parabole generatrici» La retta semplice «Nel caso di equazioni in cui i punti base sono reali e distinti, è la loro retta congiungente. Se i punti base sono reali e coincidenti, è la retta tangente a tutte le parabole del fascio. Se non esistono punti base, è una retta qualunque del fascio.» Per finire lo studio mancano solo le proprietà geometriche * asse di simmetria x = 4 - 1/k parallelo all'asse y * apertura k != 0 * vertice V(4 - 1/k, (k - 1)/k) * fuoco F(4 - 1/k, 1 - 3/(4*k)) * direttrice d ≡ y = 1 - 5/(4*k) * luogo dei fuochi, la retta y = (5*x - 16)/4 * luogo dei vertici, la retta y = x - 3 NOTA i luoghi si trovano eliminando k dalle coordinate. ------------------------------ B) La parabola con asse parallelo all'asse y è tangente l'asse x se e solo se il vertice è di tangenza all'intersezione T(3, 0) fra asse x e luogo, cioè * 0 = k*3^2 - 2*(4k - 1)*3 + (16*k - 7) ≡ k = 1 da cui * Γ(1) ≡ y = (x - 3)^2 * (x = 0) & (y = (x - 3)^2) ≡ A(0, 9) ------------------------------ C1) La corda, base dei triangoli, congiungente A(0, 9) e B(4, 1) sulla Γ(1) * giace sulla AB ≡ y = 9 - 2*x, per 0 <= x <= 4 * è lunga b = |AB| = 4*√5 se deve formare triangoli di area * S = b*h/2 = (4*√5)*h/2 = 6 ha bisogno dell'altezza * h = 3/√5 --------------- C2) Il punto cursore di Γ(1) è P(u, (u - 3)^2). La distanza di P dalla AB, nell'arco AB, è * d(u) = √(((u - 4)*u)^2)/√5 e il sistema * (h = 3/√5 = √(((u - 4)*u)^2)/√5) & (0 < u < 4) dà * (u in {2 - √7, 1, 3, 2 + √7}) & (0 < x < 4) ≡ ≡ u in {1, 3} da cui * P1(1, (1 - 3)^2) = (1, 4) * P2(3, (3 - 3)^2) = (3, 0)
