Problema esame

parte a) 

La funzione n(t) é la primitiva di 50 t/(1+t^2) che vale 0 per t = 0

S 50t/(1+t^2) dt = 25 S 2t /(1+t^2) dt = 25 ln (1 + t^2) + C 

dalla condizione iniziale assegnata si trova C 

25 ln (1 + 0) + C = 0  => C = 0 =>  n(t) = 25 ln ( 1 + t^2) 

n(4) = 25 ln ( 1 + 16 ) = 25 ln 17 = 70.83 => 71

parte b) 

cerco il massimo di dn/dt 

d^2 n/dt^2 = 50 * [1+t^2 - t*2t]/(1+t^2)^2 = 50/(1+t^2)^2 * (1 - t^2) >= 0

é verificata per - 1 <= t <= 1 che per t >= 0 dà l'intervallo di crescenza 0 <= t <= 1 

e quindi un massimo relativo, in realtà anche assoluto dato che il limite all'infinito

é nullo, per t = 1.

Dunque  n* = n(1) = 25 ln ( 1 + 1^2) = 25 ln 2 = 17.33 approssimato a 17.