Problema area minima

Ciao di nuovo.

Chiamiamo con μ la misura di DC=AH

Quindi si ha:

Α = 1/2·(√3·x + 2·μ)·x = area del trapezio

deve essere:

Α = 150 cm^2

quindi:

1/2·(√3·x + 2·μ)·x = 150 da cui: 

√3·x^2/2 + μ·x = 150------> μ = √3·(100·√3 - x^2)/(2·x)

Quindi il perimetro:

2·p = (√3·x + 2·μ) + 3·x cioè:

2·p = x·(√3 + 3) + 2·μ = x·(√3 + 3) + 2·(√3·(100·√3 - x^2)/(2·x))

Semplificando:

2·p = 3·x + 300/x

a cui corrisponde la funzione somma del tipo  y = a·x + b/x

con minimo in x = √(b/a) di valore pari a: y = 2·√(a·b)

Nel nostro caso:

si ha per x = √100----- x=10 cm

ymin=x = 2·√(3·300) = 60 cm

Altrimenti:

3·x + 300/x------> y'=dy/dx=3 - 300/x^2

studio derivata: 3 - 300/x^2 ≥ 0------> x ≤ -10 ∨ x ≥ 10

che indica che 10 cm è valore minimo per il perimetro 2p=y