[Risolto] Problema equazione di secondo grado

Ciao!
Ricordiamoci l'area del trapezio: $A = \frac{(B+b)\cdot h}{2}$
con $B =$ base maggiore
$b=$ base minore
$h =$ altezza

Sappiamo l'area $A =144 \ cm^2$, mentre gli altri dati ci sono noti solo in funzione dell'altezza.
Chiamiamo quindi $x=$altezza, sappiamo che
$b= 10+x$
$B = 10+b = 10+(10+x) = 20+x$

quindi possiamo impostare l'equazione $ 144 = \frac{(20+x +10+x)\cdot x}{2}$

$144 = \frac{30+2x)\cdot x}{2}$
$144 = \frac{30x+2x^2}{2}$
$288 = 30x + 2x^2$
$2x^2+30x -288 = 0$

che è un'equazione di secondo grado.
Dividiamo per $2$ per facilitare i successivi conti:

$x^2+15x -144 = 0$

$\Delta = 15^2-4(1)(-144) = 255 + 576 = 801 = 89 \cdot 9 $

quindi $ x_{1,2} = \frac{-15 \pm 3 \sqrt{89}}{2}$
ovviamente $ \frac{15 -3\sqrt{89}}{2}$ non possiamo considerarlo perché è negativo, e noi abbiamo indicato con $x$ una lunghezza (che è sempre positiva).

allora $ x =\frac{15 +3\sqrt{89}}{2}$
$b = 10+ \frac{15 +3\sqrt{89}}{2} = \frac{35 +3\sqrt{89}}{2}$
$B = 20 + \frac{15 +3\sqrt{89}}{2} = \frac{55 +3\sqrt{89}}{2}$

Per calcolare il perimetro ci manca la lunghezza del lato obliquo, che possiamo calcolare così:

inanzitutto calcoliamo le proiezioni (che sono il la base dei "triangolini" ai lati di un trapezio obliquo)

$p = \frac{B-b}{2} = \frac{ 55-35}{2} = 10$
e usiamo l'altezza e le proiezioni come cateti dei triangoli rettangoli ai lati del trapezio obliquo, trovando i lati obliqui col teorema di pitagora:

$l = \sqrt{ 10^2 +(\frac{15 +3\sqrt{89}}{2})^2 } = $ $ \frac{ \sqrt{1026+90\sqrt{89} }}{2} =$

$ = \frac32 \sqrt{89}$

(quest'ultimo passaggio va fatto utilizzando le proprietà dei radicali doppi)

Allora il perimetro è $l+l+B+b = \frac{55+3\sqrt{89}+35+3\sqrt{89} + 3 \sqrt{89}}{2} = \frac{90+9\sqrt{89}}{2}$

 

Nb: i conti vengono molto brutti ma li ho ricontrollati. Se c'è qualche passaggio sbagliato fammelo sapere!

Nb: ti metto la formula del radicale doppio che ho utilizzato: 
$\sqrt{a+\sqrt{b}}= \sqrt{ a+\frac{\sqrt{a^2-b}}{2}}$

2A = 288 = h*(h+20+h+10) = h(2h+30)

288 = 2h^2+30

144 = h^2+15h

h = (15-√15^2+144*4)/-2 = 6,65 cm

b = 16,65 cm

B = 26,65 cm 

verifica : (26,65+16,65)*6,65/2 = 144,0 ...direi che ci siamo 

(B-b)/2 = 10/2 = 5

ℓo = √6,65^2+5^2 = 8,32 cm 

perimetro p = (2*6,65+30)+8,32*2 = 59,94 cm