[Risolto] problema: equazione di secondo grado

Se di due valori sono noti la somma "s" e il prodotto "p" essi sono gli zeri (X1, X2) del trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
dove il discriminante è
* Δ = s^2 − 4*p
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
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NEL CASO IN ESAME
"due numeri naturali" ≡
≡ Δ >= 0 & (X1, X2) in N
"tali che la loro differenza sia 8" ≡
≡ X2 - X1 = 8 & Δ > 0 & (X1, X2) in N
"la somma della loro somma e del loro prodotto sia 64" ≡
≡ s + p = 64
Tale formalizzazione dà luogo al modello matematico del problema (incompleto: manca il vincolo "(X1, X2) in N").
* ((s + √Δ)/2 - (s - √Δ)/2 = 8) & (s + p = 64) & (s^2 − 4*p > 0) ≡
≡ (√Δ = 8) & (s + p = 64) & (p < s^2/4) ≡
≡ (√(s^2 − 4*p) = 8) & (s + p = 64) & (p < s^2/4) ≡
≡ (s = - 20) & (p = 84) oppure (s = 16) & (p = 48)
da cui le due alternative su cui imporre la restrizione "(X1, X2) in N"
* T1(x) = x^2 + 20*x + 84 = (x + 14)*(x + 6), con (- 14, - 6) in Z, non in N
oppure
* T2(x) = x^2 - 16*x + 48 = (x - 4)*(x - 12), con (4, 12) in N

Se n é il numero minore, il maggiore é n + 8

Traducendo in simboli l'enunciato espresso dalla traccia hai l'uguaglianza

n + n + 8 + n* (n + 8) = 64      la cui forma normale é ...

Ricorda che n deve essere naturale e buon proseguimento.

Il risultato é (4 e 12).

 hops...mi è sfuggito "naturali" 🤔

Determina due numeri naturali tali che la loro differenza sia 8 e la somma della loro somma e del loro prodotto sia 64.

xed y appartengono all'insieme:

N= {0,1,2,3,4,......}

quindi sistema:

{x - y = 8                     (con x>y)

{(x + y) + x·y = 64

Risolvo per sostituzione:

y = x - 8

(x + (x - 8)) + x·(x - 8) = 64

(2·x - 8) + (x^2 - 8·x) = 64

x^2 - 6·x - 72 = 0

(x + 6)·(x - 12) = 0-------> x = 12 ∨ x = -6

Il secondo si scarta!

y = 12 - 8---------> y = 4

Risposta: i due numeri naturali sono 12 e 4