Ganimede, satellite di Giove, ha un raggio orbitale medio di $1,07 \cdot 10^{9} \mathrm{~m}$, e impiega 7,16 giorni a compiere un giro completo. Determina la massa di Giove.
SUGGERIMENTO La forza centripeta che agisce su Ganimede non è altro che la forza di attrazione gravitazionale tra... Inoltre, la massa del satellite non è necessaria, in quanto nella formula risolutiva per trovare la massa di Giove... $\quad\left[1,9 \cdot 10^{27} \mathrm{~kg}\right]$
Come si risolve? Grazie
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Livello 0
La forza di attrazione gravitazionale che Giove esercita su Ganimede causa un'accelerazione centripeta, dunque si può scrivere:
$G \dfrac{M m}{r^2} = m \dfrac{v^2}{r}$ in cui
$G$ = costante di gravitazione universale = $6,67 10^{-11} \dfrac{N m^2}{kg^2}$
$M$ = massa di Giove
$m$ = massa di Ganimede
$r$ = raggio medio dell'orbita
$v$ = velocità tangenziale di Ganimede
La massa $m$ di Ganimede si trova ad entrambi i membri dell'equazione e posso toglierla moltiplicando per $\frac{1}{m}$ a sinistra e a destra dell'uguale ( posso farlo perché $m > 0$), trovando che:
$G \dfrac{M}{r^2} = \dfrac{v^2}{r}$
La velocità tangenziale è legata alla velocità angolare $\omega$ dalla relazione $v = \omega r$, di conseguenza riscrivo l'equazione come:
$G \dfrac{M}{r^2} = \omega^2 r$
Il periodo $T$ in un moto circolare è legato alla velocità angolare dalla relazione $\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$
$T = 7,16$ giorni $= 618624$ secondi
$G \dfrac{M}{r^2} = \dfrac{4 \pi^2}{T^2} r$
$M = \dfrac{4 \pi^2}{T^2 G} r^3 \, \longrightarrow \, M = \dfrac{4 \pi^2}{(618624)^2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11}} (1,07 \cdot 10^{9})^3$
$M \,=\, 1,894 \cdot 10^{27} kg \, \approx \, 1,9 \cdot 10^{27} kg$
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Livello 3
@Stranglehold
Clicko freccia in su per la completezza.
Ma non sei stata un po' arzigogolata?
Grazie per il voto positivo.
In effetti alcune cose potevano essere scritte in modo più breve però, quando scrivo una risposta, non so le conoscenze di chi fa la domanda, quindi cerco di non dare nulla per scontato e scrivo più informazioni possibili.
Nell'ipotesi che l'orbita si possa considerare circolare (si dà il "raggio orbitale medio" e non i parametri dell'ellisse) vale la relazione
* T = 2*π*√(r^3/μ)
dove
* r = 1.07*10^9 = 107*10^7 m, raggio orbitale medio
* T = (7.16 giorni)*(86400 secondi/giorno) = 618624 s, periodo
* μ = G*M Nm^2/kg, costante gravitazionale dell'attrattore di massa M
* G = 6.67*10^(− 11) = 667/10^13 Nm^2/kg^2, costante universale
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Sostituendo i valori si ha
* 618624 = 2*π*√((107*10^7)^3/((667/10^13)*M)) ≡
≡ M = (299082763671875*10^22/15579711963)*π^2 ~=
~= 1.89466*10^27 kg
che risulta ragionevolmente in accordo con la stima della NASA di
~= 1.89819*10^27 kg
http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/jupiterfact.html
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Genius I
