Problema equazione circonferenza e triangoli equilateri

@Beppe

 

@beppe

Ciao.

Intanto il grafico:

x^2 + y^2 + a·x + b·y = 0 passante per l'origine (c=0)

E' tangente in O(0,0) alla retta: y = -x

Quindi il raggio giace sulla bisettrice del 1° e del 3° quadrante. Quindi il centro si trova risolvendo il sistema:

{y = x

{y = 5·x - 8

Risolvendo: [x = 2 ∧ y = 2]------> [α = 2, β =2] coordinate del centro

{a = - 2·α = -4

{b = - 2·β = -4

Quindi: x^2 + y^2 - 4·x - 4·y = 0

o anche  (x-2)^2+(y-2)^2= 8

(essendo r = √(2^2 + 2^2 - c) = 2·√2)

Il lato di ogni triangolo vale:

2·r = 4·√2 = OA ect...

il perimetro del quadrilatero vale:4·(4·√2) = 16·√2 (quindi circa 22.63)

Coordinate di B:

{4·√2·COS(105°) = 2 - 2·√3

{4·√2·SIN(105°) = 2·√3 + 2

Coordinate di C:

{4·√2·COS(15°) = 2·√3 + 2

{4·√2·SIN(15°) = 2·√3 - 2

Area quadrilatero=Α = 4·√2·√3/2·(4·√2)-----> Α = 16·√3  ( cioè circa: 27.71)

In quanto tangente alla bisettrice dei quadranti pari la circonferenza Γ richiesta è centrata su quella dei quadranti pari con centro C(k, k) e raggio la distanza dall'origine k*√2. Dovendo anche essere centrata sulla retta y = 5*x - 8, k dev'essere tale che
* k = 5*k - 8 ≡ k = 2
quindi
* Γ ≡ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (2*√2)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 4*x - 4*y = 0
e
* (y = x) & ((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8) ≡ A(4, 4)
------------------------------
I punti B e C sono le intersezioni fra le circonferenze Γo e Γa centrate in O e A e con raggio r = |AO| = 4*√2
* Γo & Γa ≡ (x^2 + y^2 = (4*√2)^2) & ((x - 4)^2 + (y - 4)^2 = (4*√2)^2) ≡
≡ B(2*(1 - √3), 2*(1 + √3)) oppure C(2*(1 + √3), 2*(1 - √3))
------------------------------
Il quadrilatero OCAB è il rombo formato dalla giustapposizione di due triangoli equilateri speculari di lato L = 4*√2, altezza h = 2*√6, area S = 8*√3; perciò ha
* perimetro 4*L = 16*√2 ~= 22.6274
* area 2*S = 16*√3 ~= 27.7128