Problema di trigonometria

Scrivo:

SIN(γ) = 2·x/(2·x + 8)

COS(γ) = (2·x + 4)/(2·x + 8)

Formula fondamentale della trigonometria:

SIN(γ)^2 + COS(γ)^2 = 1

Quindi:

(2·x/(2·x + 8))^2 + ((2·x + 4)/(2·x + 8))^2 = 1

Sviluppo:

(16/(x + 4)^2 - 8/(x + 4) + 1) + (4/(x + 4)^2 - 4/(x + 4) + 1) = 1

20/(x + 4)^2 - 12/(x + 4) + 2 = 1

*(x+4)^2

2·x^2 + 4·x + 4 = x^2 + 8·x + 16

x^2 - 4·x - 12 = 0

x = 6 ∨ x = -2

Lati:

2*6+4=16 cateto maggiore

2*6=12 cateto minore

2*6+8=20 ipotenusa

Dimenticavo:

Area=1/2·12·16 = 96

Per il Teorema di Carnot 

(2x+8)^2 = (2x)^2 + (2x + 4)^2 - 2*2x * (2x+4) cos 90° 

e con l'annullamento dell'ultimo termine ( cos 90° = 0 ) quello che hai fatto va bene

4x^2 + 32 x + 64 = 4x^2 + 4x^2 + 16x + 16 

4x^2 - 16x - 48 = 0

x^2 - 4x - 12 = 0

(x - 6)(x + 2) = 0

e scartando la radice negativa x = 6

i tre lati misurano quindi 12, 16 e 20 

e l'area é S = (12*16)/2 = 96.

Uso il teorema di F. Viete (aka del coseno) e chiamo, rispettivamente  a, b e c i cateti e l'ipotenusa 

c^2 = a^2+b^2-2*a*b*cos 90°

se l'angolo tra a e b è 90°, cos 90° = 0  e  la formula si riduce a :

c^2 = a^2+b^2 (colpa di F. Viete 😉 se Pitagora finisce tra le tonsille)

oppure

sin^2 + cos^2 = 1 

(x/(x+4))^2+((x+2)/(x+4))^2 = 1 

x^2+x^2+4x+4 = x^2+8x+16 

x^2-4x-12 = 0

x = (4+√4^2+4*12)/2 = (4+8)/2 = 6

area A = (12*16)/2 = 12*8 = 96