Problema di trigonometria

prendo a prestito la figura di Luciano (che ringrazio)

Area A = (r√2*r/2*√2*sin 2x)/2 = (r^2/2*sin 2x) ...risposta N°1

Area A è max per sen 2x = 1 (x = 45°) e ha valore r^2/2*1 = r^2/2 

Area A' per x = 20° : A' = r^2/2*sin 40° = 0,321*r^2

Area A'' per x = 30° : A'' = r^2/2*sin 60 = r^2/4*√3...risposta N°2

 

 

 

L'angolo AĈB è retto, essendo inscritto in una semicirconferenza abbiamo allora le relazioni:

  -- AC =AB•cosx = r√2•cosx

  -- BC =AB•senx = r√2•senx

 

area del triangolo ABC:

½AC•BC = ½•r√2•cosx•r√2•senx = ½r²sen(2x)

½r²sen(2x) = (√3)/4•r²  ---> sen(2x)=(√3)/2  -->

--> 2x=60°U 2x=120°  --> x=30° U x=60°

@sasino

Ciao. Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza.

Tale triangolo ha ipotenusa AB e cateti AC e BC

Gli angoli adiacenti a tale ipotenusa chiamiamoli α e β sono tali per cui (vedi foto allegata)

AC=AB·COS(α)=AB·SIN(β)

BC=AB·COS(β)=AB·SIN(α)

Se facciamo riferimento all'angolo CAB lo possiamo chiamare α = x senza modificare in alcun modo quanto diciamo.

Al variare di C sulla semicirconferenza possiamo quindi considerare:

AC=AB·COS(α)

BC=AB·SIN(α)

Quindi essendo AC ed AB cateti, l'area di tale triangolo ABC è data da:

f(α)=1/2*AC*BC=1/2*AB^2·SIN(α)·COS(α)------->f(α) =1/2*(r·√2)^2·SIN(α)·COS(α)

f(α) =r^2·SIN(α)·COS(α)

Si tratterà quindi di porre: f(α)=√3/4·r^2 

E quindi di risolvere:

r^2·SIN(α)·COS(α)=√3/4·r^2 ------>SIN(α)·COS(α)=√3/4   (per 2)

SIN(2α)=√3/2        ------>2α = 60°    ---->α = 30° 

Siccome gli angoli adiacenti all'ipotenusa sono complementari, e a cui corrisponderebbe una situazione simmetrica, per il triangolo rettangolo ABC, si può prendere anche il valore di β =60°