Buon pomeriggio, ho bisogno di aiuto con il seguente problema:
In un cerchio di raggio r considera la corda AB=r√3. Trova un punto P sul maggiore dei due archi AB in modo che l'area del triangolo PAB sia massima.
Ho trovato che l'angolo ABP è π/3 con il teorema della corda, ma non riesco a trovare una formula per l'area che abbia solo una variabile, in modo da poter fare la derivata.
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Livello 0
Fai riferimento alla figura allegata. La circonferenza ha raggio r, la corda AB misura r·√3.
Il punto P insiste sul maggiore dei due archi AB.
Vale il teorema della corda:
" La lunghezza di una corda AB di una circonferenza di raggio r è data dal doppio prodotto del raggio per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda". Sia β quindi quest'angolo.
Quindi si deve avere: r·√3 = 2·r·SIN(β)-----> SIN(β) = √3/2 per cui: β = pi/3
Chiamiamo quindi con x l'angolo alla circonferenza che insiste su BP come in figura.
Sempre per il teorema suddetto abbiamo:
ΒΡ = 2·r·SIN(x)
L'area del triangolo ABP vale quindi:
Α = 1/2·(r·√3)·(2·r·SIN(x))·SIN(γ)
avendo definito con γ l'angolo adiacente al lato AB in B del triangolo stesso ABP (compreso fra i due lati AB e BP)
SIN(γ) = SIN(pi - (pi/3 + x)) = SIN(x + pi/3)
Α = √3·r^2·SIN(x + pi/3)·SIN(x)
SIN(x + pi/3) = SIN(x)·COS(pi/3) + SIN(pi/3)·COS(x)
Α = √3·r^2·(√3·COS(x)/2 + SIN(x)/2)·SIN(x)
Α = 3·r^2·SIN(x)·COS(x)/2 + √3·r^2·SIN(x)^2/2
Quindi è questa la funzione da ottimizzare (in base al modello che abbiamo creato)
A'=dA/dx=0:
3·r^2·COS(x)^2 + √3·r^2·SIN(x)·COS(x) - 3·r^2/2 = 0
poniamo:
COS(x) = Χ
SIN(x) = Υ
e risolviamo il sistema:
{3·Χ^2 + √3·Υ·Χ = 3/2
{Χ^2 + Υ^2 = 1
ottenendo:
Υ = 1/2 ∧ Χ = - √3/2 ; Υ = - 1/2 ∧ Χ = √3/2; Υ = √3/2 ∧ Χ = 1/2; Υ = - √3/2 ∧ Χ = - 1/2
In grassetto l'unica soluzione accettabile.
{SIN(x) = √3/2
{COS(x) = 1/2
x = pi/3
Quindi il triangolo equilatero è il triangolo di area massima.
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Genius II
@lucianop Tutto chiaro, grazie mille per la spiegazione dettagliata. Avevo provato a usare la formula A=1/2 a b sin γ, ma avevo scelto due lati che rendevano il procedimento più complicato.
OK. Va bene. Buona notte.
Non capisco a che ti serva «... una formula per l'area che abbia solo una variabile, in modo da poter fare la derivata.» per risolvere un problema di geometria elementare, da seconda media al massimo!
Nemmeno occorre riconoscere che la corda di lunghezza r*√3 è il lato del triangolo equilatero inscritto.
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Nella circonferenza Γ di raggio r ogni corda di lunghezza c (0 < c <= 2*r) si trova a distanza d dal centro e vale
* r^2 = d^2 + (c/2)^2
se c = r*√3 allora si ha
* d = r/2
quindi la massima altezza sulla corda AB è relativa a P sull'asse di AB
* hMax = r + r/2 = 3*r/2
e l'area massima è
* S = c*hMax/2 = (r*√3)*(3*r/2)/2 = (3*√3/4)*r^2
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Genius I
@exprof Grazie per la risposta. Ho chiesto una formula per l'area perché mi sto esercitando per un compito sulle derivate, quindi era quella la via che stavo seguendo.
Avevo comunque provato a seguire il suo stesso approccio, ottenendo lo stesso risultato, ma non sapevo come dimostrare, per quanto mi appaia evidente graficamente, che l'altezza sull'asse è l'altezza massima.
@NoRealSolutions
non solo graficamente, ma sommando raggio e distanza! Se vuoi una funzione da derivare, scrivi la distanza dal centro della corda a un generico punto della circonferenza.
