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Problema di ottimizzazione

  

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Ciao a tutti 🙂 eccomi nuovamente!

Ho questo problema da risolvere: "Si vuole progettare un fusto rettangolare in acciaio inossidabile, senza coperchio, che abbia la base quadrata e un volume di $0,9 m^{3}$, che possa essere realizzato saldando piastre da $6cm$ e il cui peso sia il minimo indispensabile. Quali sono le dimensioni adatte?"

Preferirei un aiuto e non la risoluzione. Se mi fornite solamente la soluzione (poichè sul mio libro non la porta) è anch'essa gradita.

Grazie a chi vorrà aiutami 🤗 

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5 Risposte
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Dai dati:

  • V = 0,9 m³ ≡ 900000 cm³
  • Lato piastra. l=6 cm ⇒ Area piastra l²=36 cm²
  • Lato base. L = n*6 cm ⇒ Area base L²=36*n² cm²
  • numero piastre per la base Nb = n²
  • altezza. h = V/L² = 25000/n² cm
  • numero di piastre in altezza per essere sicuro che non tracimi H = ⎡h⎤  
  • numero piastre per coprire la superficie laterale Nl = 4*H = 4*⎡25000/n²⎤

dove con ⎡h⎤ ho indicato la funzione "ceiling" cioè l'arrotondamento all'intero superiore.

  • numero piastre necessario  Nt = Nl+Nb = 4*⎡25000/n²⎤  + n²

Si vuole minimizzare il peso cioè rendere minimo il numero delle piastre Nt

Consideriamo la funzione continua y = 4*25000/x² + x²

  • Derivata prima y' = 2x-50000/x³
  • Punti stazionari y'(x) = 0 ⇒ x= ±10⁴√10
  • punto stazionario possibile  x₀ = 10⁴√10 ≈ 17,78

Si hanno due soluzioni da esplorare quelle a cavallo di x₀ e cioè:

i) n=17 per cui Nb=289 ⇒ Nt = 637 piastre

ii) n=18 per cui Nb=324 ⇒ Nt = 636 piastre

La soluzione ottima è per una base il cui lato è 18 piastre per un totale di 636 piastre.

 

Grazie mille, avevo intuito il procedimento, ma mi son bloccata nel considerare in maniera corretta il numero di piastre necessarie




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@antonella_falzea

Ciao. Diciamo x le dimensioni dello spigolo di base ed h la dimensione dell'altezza del fusto.

Quindi si deve tener presente che:

V=0.9 m^3= 900000 cm^3

e poi che l'altezza h del fusto deve essere tale per cui:

h=V/x^2=900000/x^2 (in cm)

ora la superficie di tale fusto, essendo aperta superiormente è data da:

s = x^2 + 4·h·x tenendo presente che deve essere aperto superiormente.

Continuo dopo cena. A più tardi.

Riprendo Considero quindi la funzione: y = x^2 + 4·900000/x, cioè:

y = x^2 + 3600000/x in cm   

Questa è la funzione da ottimizzare (dopo penseremo in modo opportuno al numero delle piastre che ne conseguiranno!)

C.N. y'=dy/dx=0    cioè:    2·x - 3600000/x^2 = 0-------->x ≠ 0

equivale a:        2·(x^3 - 1800000)/x^2 = 0 quindi a:

x^3 - 1800000 = 0  -------> x = 20·15^(2/3) ------>x = 121.64 cm

a tale valore di x corrisponde:

y = (20·15^(2/3))^2 + 3600000/(20·15^(2/3))

y = (14797 + 29595) cm^2------->y = 44392 cm^2

 

(quindi si tratterà di ricoprire y =44392  cm^2 con le piastre che supporremo non segabili, ma saldabili). In effetti per questo valore si ha un minimo della funzione y.

Vedi grafico:

image

E' chiaro che con il minimo di superficie avremo un minimo peso del contenitore ed un minore numero di piastre da saldare per formare lo stesso.

Che sia un minimo lo si vede dal grafico allegato, oppure da:

y''=7200000/x^3 + 2 >0

Si tratta ora di valutare il numero delle piastre che formano il contenitore.

Base: 121.64/6 = 20.27333333------>21^2 = 441 piastre per la base (441·36 = 15876 cm^2)

Superficie laterale 21*4*(n° piastre sull'altezza)=84·10= 840 piastre (840*36 = 30240 cm^2)

 

 

 

 

 

 

 

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Si tratta di minimizzare la superficie totale S 

A = area base quadrata 

S = √A *4 * h + A 

                        .......A.............................h.......................S

image

Si vede che S è minima (44.394 cm^2) per h = 60 cm

n =  44.394/6^2 = 1.233 piastrelle circa 




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PROVA DI "un aiuto e non la risoluzione", SE CI RIESCO SENZA TROPPE CHIACCHIERE.
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L'ottimizzazione è sul minimo numero di piastrelle, usando le unità di misura
* lunghezza: u = 6 cm = 3/50 m
* superficie: u^2 = 9/2500 m^2
* volume: u^3 = 27/125000 m^3
col volume imposto
* V = 0.9 m^3 = 12500/3 = (4166 + 2/3) u^3
che, non essendo un intero, dà luogo a due letture possibili.
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A) Si mantiene la specificazione "V = 0.9 m^3" e si ammette che le piastrelle si possano segare (come quelle di bagno, cucina, pavimenti); ma attenzione! in questa interpretazione si priva di senso l'altra specificazione "saldando piastre": tanto varrebbe ragionare su lamiera continua.
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B) Si attenua la specificazione in "V >= 0.9 m^3", cioè in "V = 4167 u^3", e si ragiona solo su numeri interi di piastrelle non segabili.
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Nel seguito del discorso adotto l'interpretazione B.
Il modello di base è uno dei più classici "lavoretti" adottato dai maestri di scuola dell'infanzia.
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Ritagliando dagli angoli di un foglio di bristol, rettangolare di dimensioni (a, b), quattro quadratini di lato h e ripiegando in su le ali ogni bimbo d'asilo è orgoglioso di fare una scatola da regalare alla nonna.
La scatola è senza coperchio, ha la base di dimensioni (a - 2*h, b - 2*h), volume
* v(a, b, h) = (a - 2*h)*(b - 2*h)*h = (4*h^2 - 2*(a + b)*h + a*b)*h
ed area
* s(a, b, h) = (a - 2*h)*(b - 2*h) + 2*h*((a - 2*h) + (b - 2*h)) = a*b - 4*h^2
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Affinché la scatola dei bimbi possa essere un modello del tuo problema si deve applicare la condizione "base quadrata" che impone il vincolo
* a - 2*h = b - 2*h ≡ a = b
da cui
* v(b, h) = h*(b - 2*h)^2
* s(b, h) = b - 4*h^2
Poiché il peso è proporzionale alla superficie si tratta di minimizzare
* b - 4*h^2
soggetta al vincolo
* h*(b - 2*h)^2 = V
QUI TERMINA LA PROVA DI AIUTO SOLO A CHIACCHIERE.
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Numericamente
* (h*(b - 2*h)^2 = 4167) & (0 < 2*h < b)
ha due sole soluzioni intere
* (b, h) = (929, 463) → s(929, 463) = 929 - 4*463^2 = - 856547 u^2
* (b, h) = (8335, 4167) → s(8335, 4167) = 8335 - 4*4167^2 = - 69447221 u^2
ma, con superficie negativa, non plausibili.
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Se, contro la tua preferenza, dovessi sviluppare io la risoluzione lascerei perdere il discorso sulle piastrelle (scritto senza pensare da un autore che guardava la TV) e poi adatterei il testo alla soluzione ragionevole.

2

CI HO PENSATO SU E RINNEGO LA RISPOSTA CERCHIOBOTTISTA DI IERI.
La lascio lì a titolo di documentazione e confronto.
Si chiede di minimizzare ("il cui peso sia il minimo indispensabile") la superficie quasi totale (laterale più una sola base) di un parallelepipedo retto a base quadrata di volume V assegnato IN MODO CATEGORICO.
Spigoli: 6*x di base, 6*y di altezza.
Volume: V = 216*y*x^2 = 900000 ≡ y = 12500/(3*x^2)
Superficie da minimizzare: z(x, y) = 4*x*y + x^2 ≡
≡ z(x) = x^2 + 50000/(3*x) >=
>= z(10*(25/3)^(1/3) ~= 20.274) = 500*15^(1/3) ~= 1233.106
quindi il punto (x, y) di minimo è
* M(10*(25/3)^(1/3), (5/3)*15^(2/3)) ~= (20.274, 10.137)
e nessuna delle due coordinate è intera: c'è una sola conclusione possibile.
LA NARRATIVA DESCRIVE UN PROBLEMA MAL POSTO.
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Il problema risulterebbe indeterminato (con quattro soluzioni alternative) se chiedesse di contemperare l'APPROSSIMAZIONE del volume con la minimizzazione del peso; e risulterebbe ben posto se prescrivesse per tale contemperazione un criterio decidibile in base ai dati del caso.
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Nel formato
* {x, y, V = 216*y*x^2, z = 4*x*y + x^2}
le quattro soluzioni alternative sono (in: piastrelle, cm^3, cm^2)
* {20, 10, 864000, 1200}
* {20, 11, 950400, 1280}
* {21, 10, 952560, 1281}
* {21, 11, 1047816, 1365}
che, col criterio del minimo scarto assoluto sul volume, danno l'ottimo
* {20, 10, 864000, 1200}
mentre, col criterio V >= 900000, l'ottimo è
* {20, 11, 950400, 1280}

Grazie mille @exprof, ancora una volta il mio libro si dimostra essere stato redatto "dopo pranzo" 🤣 grazie per la spiegazione esauriente






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