Ho questo problema da risolvere: "Si vuole progettare un fusto rettangolare in acciaio inossidabile, senza coperchio, che abbia la base quadrata e un volume di $0,9 m^{3}$, che possa essere realizzato saldando piastre da $6cm$ e il cui peso sia il minimo indispensabile. Quali sono le dimensioni adatte?"
Preferirei un aiuto e non la risoluzione. Se mi fornite solamente la soluzione (poichè sul mio libro non la porta) è anch'essa gradita.
x^3 - 1800000 = 0 -------> x = 20·15^(2/3) ------>x = 121.64 cm
a tale valore di x corrisponde:
y = (20·15^(2/3))^2 + 3600000/(20·15^(2/3))
y = (14797 + 29595) cm^2------->y = 44392 cm^2
(quindi si tratterà di ricoprire y =44392 cm^2 con le piastre che supporremo non segabili, ma saldabili). In effetti per questo valore si ha un minimo della funzione y.
Vedi grafico:
E' chiaro che con il minimo di superficie avremo un minimo peso del contenitore ed un minore numero di piastre da saldare per formare lo stesso.
Che sia un minimo lo si vede dal grafico allegato, oppure da:
y''=7200000/x^3 + 2 >0
Si tratta ora di valutare il numero delle piastre che formano il contenitore.
Base: 121.64/6 = 20.27333333------>21^2 = 441 piastre per la base (441·36 = 15876 cm^2)
PROVA DI "un aiuto e non la risoluzione", SE CI RIESCO SENZA TROPPE CHIACCHIERE. ------------------------------ L'ottimizzazione è sul minimo numero di piastrelle, usando le unità di misura * lunghezza: u = 6 cm = 3/50 m * superficie: u^2 = 9/2500 m^2 * volume: u^3 = 27/125000 m^3 col volume imposto * V = 0.9 m^3 = 12500/3 = (4166 + 2/3) u^3 che, non essendo un intero, dà luogo a due letture possibili. --------------- A) Si mantiene la specificazione "V = 0.9 m^3" e si ammette che le piastrelle si possano segare (come quelle di bagno, cucina, pavimenti); ma attenzione! in questa interpretazione si priva di senso l'altra specificazione "saldando piastre": tanto varrebbe ragionare su lamiera continua. --------------- B) Si attenua la specificazione in "V >= 0.9 m^3", cioè in "V = 4167 u^3", e si ragiona solo su numeri interi di piastrelle non segabili. --------------- Nel seguito del discorso adotto l'interpretazione B. Il modello di base è uno dei più classici "lavoretti" adottato dai maestri di scuola dell'infanzia. ============================== Ritagliando dagli angoli di un foglio di bristol, rettangolare di dimensioni (a, b), quattro quadratini di lato h e ripiegando in su le ali ogni bimbo d'asilo è orgoglioso di fare una scatola da regalare alla nonna. La scatola è senza coperchio, ha la base di dimensioni (a - 2*h, b - 2*h), volume * v(a, b, h) = (a - 2*h)*(b - 2*h)*h = (4*h^2 - 2*(a + b)*h + a*b)*h ed area * s(a, b, h) = (a - 2*h)*(b - 2*h) + 2*h*((a - 2*h) + (b - 2*h)) = a*b - 4*h^2 --------------- Affinché la scatola dei bimbi possa essere un modello del tuo problema si deve applicare la condizione "base quadrata" che impone il vincolo * a - 2*h = b - 2*h ≡ a = b da cui * v(b, h) = h*(b - 2*h)^2 * s(b, h) = b - 4*h^2 Poiché il peso è proporzionale alla superficie si tratta di minimizzare * b - 4*h^2 soggetta al vincolo * h*(b - 2*h)^2 = V QUI TERMINA LA PROVA DI AIUTO SOLO A CHIACCHIERE. ============================== Numericamente * (h*(b - 2*h)^2 = 4167) & (0 < 2*h < b) ha due sole soluzioni intere * (b, h) = (929, 463) → s(929, 463) = 929 - 4*463^2 = - 856547 u^2 * (b, h) = (8335, 4167) → s(8335, 4167) = 8335 - 4*4167^2 = - 69447221 u^2 ma, con superficie negativa, non plausibili. ------------------------------ Se, contro la tua preferenza, dovessi sviluppare io la risoluzione lascerei perdere il discorso sulle piastrelle (scritto senza pensare da un autore che guardava la TV) e poi adatterei il testo alla soluzione ragionevole.
CI HO PENSATO SU E RINNEGO LA RISPOSTA CERCHIOBOTTISTA DI IERI. La lascio lì a titolo di documentazione e confronto. Si chiede di minimizzare ("il cui peso sia il minimo indispensabile") la superficie quasi totale (laterale più una sola base) di un parallelepipedo retto a base quadrata di volume V assegnato IN MODO CATEGORICO. Spigoli: 6*x di base, 6*y di altezza. Volume: V = 216*y*x^2 = 900000 ≡ y = 12500/(3*x^2) Superficie da minimizzare: z(x, y) = 4*x*y + x^2 ≡ ≡ z(x) = x^2 + 50000/(3*x) >= >= z(10*(25/3)^(1/3) ~= 20.274) = 500*15^(1/3) ~= 1233.106 quindi il punto (x, y) di minimo è * M(10*(25/3)^(1/3), (5/3)*15^(2/3)) ~= (20.274, 10.137) e nessuna delle due coordinate è intera: c'è una sola conclusione possibile. LA NARRATIVA DESCRIVE UN PROBLEMA MAL POSTO. ------------------------------ Il problema risulterebbe indeterminato (con quattro soluzioni alternative) se chiedesse di contemperare l'APPROSSIMAZIONE del volume con la minimizzazione del peso; e risulterebbe ben posto se prescrivesse per tale contemperazione un criterio decidibile in base ai dati del caso. --------------- Nel formato * {x, y, V = 216*y*x^2, z = 4*x*y + x^2} le quattro soluzioni alternative sono (in: piastrelle, cm^3, cm^2) * {20, 10, 864000, 1200} * {20, 11, 950400, 1280} * {21, 10, 952560, 1281} * {21, 11, 1047816, 1365} che, col criterio del minimo scarto assoluto sul volume, danno l'ottimo * {20, 10, 864000, 1200} mentre, col criterio V >= 900000, l'ottimo è * {20, 11, 950400, 1280}
