[Risolto] Problema di matematica&fisica

@georgiana ciao

Hai scritto la formula del potenziale e va bene.

Per sovrapposizione degli effetti bisogna considerare la somma dei potenziali dovuti alle 8 cariche situate nei vertici.

La distanza $r$ tra vertice e centro del cubo è pari a mezza diagonale:

$r=d/2$

e la diagonale del cubo è:

$d=\sqrt{3l^2}=a\sqrt{3}$ essendo $a$ la misura del lato del cubo.

Perciò:

$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Il potenziale della singola carica a questa distanza vale:

$V_i=k_0\cdot \frac{q}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Moltiplicando per 8 (quante sono le cariche):

$V_{tot}=8\cdot V_i$

cioè:

$V_{tot}=k_0\cdot 8\frac{q}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

che diventa:

$V_{tot}=k_0\cdot \frac{16q}{a\sqrt{3}}$

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Qual è il campo elettrico nel centro?

Per simmetria rispetto al centro il campo $E_{tot}=0$

Ad esempio se consideriamo il piano che taglia il cubo e che contiene i vertici ACGE, essendo le quattro cariche tutte positive, ogni coppia di vettori (che rappresentano il campo elettrico), sono uguali in modulo ma opposti in verso, quindi il campo risultante è nullo.

Lo stesso vale per il piano che contiene gli altro quattro vertici.

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Come cambia la situazione se in F, la carica è negativa?

Sul piano precedente (contenente i vertici ACGE) non cambia nulla, perchè sono tutte positive.

Sul piano passante per il vertice F:

abbiamo un coppia di vettori (rossi) uguali ed opposti con risultante nulla e una coppia di vettori in azzurro che si sommano essendo concordi.

Ricorda che il vettore campo elettrico indica la direzione del campo secondo la convenzione:

uscente dalle cariche positive ed entrante in quelle negative. 

Il vettore azzurro rappresenta perciò il campo prodotto dalla carica in D e quello prodotto dalla carica in F, entrambi con lo stesso modulo:

$E_D=k_0\cdot \frac{q}{r^2}=E_F$

sommando:

$E_{tot}=2k_0\cdot \frac{q}{r^2}$

$E_{tot}=2k_0\cdot \frac{q}{(a\sqrt{3}/2)^2}$

ed infine:

$E_{tot}=k_0\cdot \frac{8q}{3a^2}$