Considera il triangolo equilatero $A B C$ e la circonferenza a esso circoscritta di raggio $r$. Sull'arco $\overparen{A B}$ che non contiene C prendi il punto $P$. Calcola $A \widehat{B} P$ in modo che l'area del quadrilatero $A P B C$ sia i $\frac{4}{3}$ dell'area del triangolo equilatero.
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Livello 0
Il lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio R è :
L= 2R * sen(60) = R* radice (3)
L'altezza del triangolo equilatero è:
H_triangolo = (3/2) * R
Quindi l'area del triangolo equilatero è
A_triangolo = ((3* radice (3))/4) * R²
Possiamo calcolare l'area del quadrilatero come somma dell'area del triangolo equilatero e del triangolo APB.
A_quadrilatero = A_triangolo equilatero + A_APB
Poiché è richiesto che l'area del quadrilatero sia 4/3 dell'area del triangolo equilatero, possiamo scrivere:
A_APB = 1/3 * A_triangolo equilatero =
= (R² * radice (3)) /4
Essendo la base AB= R* radice (3) deve risultare, per essere soddisfatta la condizione richiesta dal problema:
H_APB = (A_APB * 2)/ base =
= ((R² * radice (3)/2) / (R* radice (3)) =
= R/2
L'altezza del triangolo APB deve essere R/2.
Quindi, essendo l'altezza del triangolo equilatero (3/2)*R ed il punto P sulla circonferenza, CP è il diametro contenente l'altezza del triangolo equilatero.
Essendo il quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari. L'angolo in P risulta essere 120 gradi, poiché opposto all'angolo C=60 gradi del triangolo equilatero.
Il triangolo APB risulta isoscele con angoli alla base di 30 gradi. Quindi
X= 30 gradi.
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Oppure tramite calcoloo, possiamo quindi scrivere:
H_APB = (L_triang equilatero /2) * tangente (x)
Da cui si ricava:
R/2 = (radice (3)/2) * R * tan(x)
tan(x) = radice (3) / 3
X= 30 gradi = pi/6
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Genius II
