Paolo investe alla fine di ogni anno per 8 anni 2000 euro al tasso annuo composto uguale a i. Il montante generato dal capitale complessivamente investito all atto dell ultimo versamento effettuato è dato dalla formula M= 2000 * [(1+ i)^8 -1 ]/ i
Calcola il limite a cui tende M quando il tasso i tende a 0 e interpreta il risultato in relazione al problema.
16 000
Ho cercato ma non mi sembra di aver trovato risoluzione al problema. Grazie dell'aiuto
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Livello 0
Per calcolare il limite di \( M \) quando il tasso \( i \) tende a 0, possiamo utilizzare il limite:
\[ \lim_{{i \to 0}} M = \lim_{{i \to 0}} \left(2000 \cdot \frac{{(1 + i)^8 - 1}}{i}\right) \]
Possiamo semplificare l'espressione dividendo sia il numeratore che il denominatore per \( i \):
\[ \lim_{{i \to 0}} \frac{{2000 \cdot (1 + i)^8 - 2000}}{{i}} \]
Ora, sostituendo \( i = 0 \), otteniamo:
\[ \lim_{{i \to 0}} \frac{{2000 \cdot (1 + 0)^8 - 2000}}{{0}} \]
Risolvendo, otteniamo:
\[ \lim_{{i \to 0}} \frac{{2000 \cdot (1)^8 - 2000}}{{0}} = \lim_{{i \to 0}} \frac{{2000 - 2000}}{{0}} \]
Questo è della forma \(\frac{0}{0}\), quindi possiamo applicare la regola di L'Hôpital. Deriviamo sia il numeratore che il denominatore rispetto a \( i \):
\[ \lim_{{i \to 0}} \frac{{0}}{{0}} \rightarrow \lim_{{i \to 0}} \frac{{0}}{{0}} \]
Continuiamo ad applicare la regola finché otteniamo un risultato. Dopo aver applicato la regola, il limite diventa:
\[ \lim_{{i \to 0}} \frac{{2000 \cdot 8 \cdot (1 + i)^7}}{{1}} \]
Sostituendo \( i = 0 \), otteniamo:
\[ \lim_{{i \to 0}} 16000 \]
Quindi, il limite di \( M \) quando \( i \) tende a 0 è 16000. Questo significa che, con un tasso di interesse che tende a zero, il montante generato tende a 16000 euro. In altre parole, quando il tasso di interesse è molto piccolo, l'investimento si avvicina a generare un montante di 16000 euro.
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Livello 1
Se i--->0 significa che non vengono pagati gli interessi che dovrebbero invece maturare ogni anno.
Quindi, in tal caso il montante complessivo all'atto dell'ultimo versamento sarà pari a:
M=8*2000=16000€
Se vuoi procedere matematicamente senza prendere in causa De L'Hopital puoi anche procedere nel seguente modo:
1 + i = u = montante unitario
u^8 - 1 = (u - 1)·(u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)
(u^8 - 1)/i = i/i·(u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)
(u^8 - 1)/i = u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1
Se i--->0 : u---> 1 quindi, al limite:
u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1 = 8
Da cui il risultato precedente.
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Genius II
se usi il teorema di de L'Hôpital è immediato:
al numeratore ti resta $2000*8*(1+i)^7$ e al denominatore ti resta $1$.
quindi per $i$ tendente a 0 il rapporto tende a $2000*8*1^7=16000$
fine
P.S
il risultato è ovvio: se per 8 anni versa 2000 euro e non ha interesse, il montante equivale al denaro investito, ovvero 2000*8=16000.
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Livello 9
