Problema di matematica con i limiti

Per calcolare il limite di \( M \) quando il tasso \( i \) tende a 0, possiamo utilizzare il limite:

\[ \lim_{{i \to 0}} M = \lim_{{i \to 0}} \left(2000 \cdot \frac{{(1 + i)^8 - 1}}{i}\right) \]

Possiamo semplificare l'espressione dividendo sia il numeratore che il denominatore per \( i \):

\[ \lim_{{i \to 0}} \frac{{2000 \cdot (1 + i)^8 - 2000}}{{i}} \]

Ora, sostituendo \( i = 0 \), otteniamo:

\[ \lim_{{i \to 0}} \frac{{2000 \cdot (1 + 0)^8 - 2000}}{{0}} \]

Risolvendo, otteniamo:

\[ \lim_{{i \to 0}} \frac{{2000 \cdot (1)^8 - 2000}}{{0}} = \lim_{{i \to 0}} \frac{{2000 - 2000}}{{0}} \]

Questo è della forma \(\frac{0}{0}\), quindi possiamo applicare la regola di L'Hôpital. Deriviamo sia il numeratore che il denominatore rispetto a \( i \):

\[ \lim_{{i \to 0}} \frac{{0}}{{0}} \rightarrow \lim_{{i \to 0}} \frac{{0}}{{0}} \]

Continuiamo ad applicare la regola finché otteniamo un risultato. Dopo aver applicato la regola, il limite diventa:

\[ \lim_{{i \to 0}} \frac{{2000 \cdot 8 \cdot (1 + i)^7}}{{1}} \]

Sostituendo \( i = 0 \), otteniamo:

\[ \lim_{{i \to 0}} 16000 \]

Quindi, il limite di \( M \) quando \( i \) tende a 0 è 16000. Questo significa che, con un tasso di interesse che tende a zero, il montante generato tende a 16000 euro. In altre parole, quando il tasso di interesse è molto piccolo, l'investimento si avvicina a generare un montante di 16000 euro.

Se i--->0 significa che non vengono pagati gli interessi che dovrebbero invece maturare ogni anno.

Quindi, in tal caso il montante complessivo all'atto dell'ultimo versamento sarà pari a:

M=8*2000=16000€

Se vuoi procedere matematicamente senza prendere in causa De L'Hopital puoi anche procedere nel seguente modo:

1 + i = u = montante unitario

u^8 - 1 = (u - 1)·(u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)

(u^8 - 1)/i = i/i·(u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)

(u^8 - 1)/i = u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1

Se i--->0 : u---> 1 quindi, al limite:

u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1 = 8

Da cui il risultato precedente.

se usi il teorema di de L'Hôpital è immediato:

al numeratore ti resta $2000*8*(1+i)^7$ e al denominatore ti resta $1$.

quindi per $i$ tendente a 0 il rapporto tende a $2000*8*1^7=16000$

fine

P.S

il risultato è ovvio: se per 8 anni versa 2000 euro e non ha interesse, il montante equivale al denaro investito, ovvero 2000*8=16000.