Problema di matematica con i limiti

Per calcolare il limite di $M$ quando il tasso $i$ tende a 0, possiamo utilizzare il limite:

$$\underset{i\to 0}{lim}M=\underset{i\to 0}{lim}(2000\cdot \frac{(1+i{)}^8-1}{i})$$

Possiamo semplificare l'espressione dividendo sia il numeratore che il denominatore per $i$:

$$\underset{i\to 0}{lim}\frac{2000\cdot (1+i{)}^8-2000}{i}$$

Ora, sostituendo $i=0$, otteniamo:

$$\underset{i\to 0}{lim}\frac{2000\cdot (1+0{)}^8-2000}{0}$$

Risolvendo, otteniamo:

$$\underset{i\to 0}{lim}\frac{2000\cdot (1{)}^8-2000}{0}=\underset{i\to 0}{lim}\frac{2000-2000}{0}$$

Questo è della forma $\frac{0}{0}$, quindi possiamo applicare la regola di L'Hôpital. Deriviamo sia il numeratore che il denominatore rispetto a $i$:

$$\underset{i\to 0}{lim}\frac{0}{0}\to \underset{i\to 0}{lim}\frac{0}{0}$$

Continuiamo ad applicare la regola finché otteniamo un risultato. Dopo aver applicato la regola, il limite diventa:

$$\underset{i\to 0}{lim}\frac{2000\cdot 8\cdot (1+i{)}^7}{1}$$

Sostituendo $i=0$, otteniamo:

$$\underset{i\to 0}{lim}16000$$

Quindi, il limite di $M$ quando $i$ tende a 0 è 16000. Questo significa che, con un tasso di interesse che tende a zero, il montante generato tende a 16000 euro. In altre parole, quando il tasso di interesse è molto piccolo, l'investimento si avvicina a generare un montante di 16000 euro.

Se i--->0 significa che non vengono pagati gli interessi che dovrebbero invece maturare ogni anno.

Quindi, in tal caso il montante complessivo all'atto dell'ultimo versamento sarà pari a:

M=8*2000=16000€

Se vuoi procedere matematicamente senza prendere in causa De L'Hopital puoi anche procedere nel seguente modo:

1 + i = u = montante unitario

u^8 - 1 = (u - 1)·(u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)

(u^8 - 1)/i = i/i·(u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1)

(u^8 - 1)/i = u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1

Se i--->0 : u---> 1 quindi, al limite:

u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1 = 8

Da cui il risultato precedente.

se usi il teorema di de L'Hôpital è immediato:

al numeratore ti resta $2000\ast 8\ast (1+i{)}^7$ e al denominatore ti resta $1$.

quindi per $i$ tendente a 0 il rapporto tende a $2000\ast 8\ast 1^7=16000$

fine

P.S

il risultato è ovvio: se per 8 anni versa 2000 euro e non ha interesse, il montante equivale al denaro investito, ovvero 2000*8=16000.