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[Risolto] caseggiato su un terreno rettangolare

  

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Un’amministrazione comunale emana una gara d’appalto per la costruzione di un caseggiato su un terreno rettangolare di 55 x 45 m. Il bando prevede che il caseggiato a forma di L sia circondato da una zona verde di area almeno doppia rispetto a quella occupata dalla casa, se questa ha al massimo due piani; se la casa ha da tre a cinque piani, l’area della zona verde deve essere tre volte quella del fabbricato. Le dimensioni della casa sono quelle indicate in figura. 􏰁

Schermata 2020 07 02 alle 13.54.02

Trova l’intervallo dei valori di x per i quali sono rispettate le condizioni poste. 􏰁

È possibile costruire una casa di cinque piani?

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iniziamo con la prima condizione, ovvero che la casa abbia 2 piani e quindi che l'area verde sia almeno il doppio dell'area della casa.

calcoliamo entrambe le aree:

AREA CASA

dividi la casa in 2 rettangoli, uno orizzontale e l'altro verticale.

quello orizzontale avrà dimensioni 40x12 = 480 m^2,  mentre quello verticale sarà 20x12=240 m^2

l'area della casa sarà quindi 480+240= 720 m^2

AREA VERDE

l'area verde può dividersi in molti modi, ecco un esempio: due rettangoli (in basso e in alto) di area x(40+2x), due verticali (a destra e sinistra) di area 32x ed infine un rettangolo di area 20*(40-12) =560 m^2

in totale l'area verde sarà:  2x(40+2x) + 64x + 560 = 4x^2 + 144x + 560

ora imponiamo che questa area verde sia almeno il doppio dell'area della casa, quindi che sia maggiore o uguale a 1440

4x^2 + 144x + 560>1440  ---> 4x^2 + 144x -880 >0

la soluzione numerica accettabile è x>5.32 

NB: dalla figura vediamo che le dimensioni dell'area verde sono 40+2x come base e 32+2x come altezza. siccome il terreno su cui dobbiamo costruire è 55x45 dobbiamo imporre che:

40+2x<55 ---> x<7.5

32+2x<45 ---> x<6.5

la soluzione di questo sistema è ovviamente x<6.5

quindi l'intervallo che noi vogliamo è    5.32<x<6.5  

 

SECONDO PUNTO

rifare lo stesso calcolo imponendo che l'area verde sia 3 volte quella della casa (non c'è scritto almeno, quindi sarà un'equazione):

4x^2 + 144x +560 =2160 ---> 4x^2 + 144x - 1600=0

siccome la soluzione è x=8.9, il risultato è impossibile (ti ricordo che x al massimo può valere 6.5)

@andreap ...nice job



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DISEGNO

497C92EC 2EE1 425B 9969 B462AAC6BFB7

SOLUZIONE

L’area occupata dalla casa è data da $(40\cdot12+20\cdot12)m=720m^{2}$.

L’area del rettangolo verde che contiene la casa è data da $(40+2x)(32+2x)=4x^{2}+144x+1280$.

L’area della sola zona verde è data dalla differenza tra le due aree trovate:
$4x^{2}+144x+1280-720=4x^{2}+144x+560$

Inoltre, per restare nei limiti del terreno disponibile, deve essere:

$\begin{cases}33+2x\leq45\\40+2x\leq55\end{cases}$

La cui soluzione è $x\leq\frac{13}{2}$, ovvero $x\leq6,5$.

• Prima richiesta

Per la costruzione della casa di due piani deve essere $4x^{2}+144x+560\geq2\cdot720$, ovvero $x^{2}+36x-220\geq0$.

Le soluzioni sono $x\leq-41,32\vee{x}\geq5,32$, di cui consideriamo solo l’intervallo a destra con le $x$ positive ($x$ rappresenta una lunghezza).

Quindi deve essere $5,32\leq{x}\leq6,5$.
Ad esempio per $x=5,32$ il rettangolo verde che contiene la casa ha per lati $50,64m$ e $42,64m$, perciò è possibile la costruzione.

• Seconda richiesta

􏰀Per la costruzione della casa di tre piani deve essere $4x^{2}+144x+560\geq3\cdot720$, ovvero $x^{2}+36x-400\geq0$.

Le soluzioni sono $x\leq-44,91\vee{x}\geq8,91$ e di nuovo è accettabile solo l’intervallo a destra con le $x$ positive.

Con $x=8,91$ il rettangolo ha per lati $57,82m$ e $49,82m$, perciò non è possibile la costruzione perché si superano le dimensioni del terreno concesso.

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Se vuoi una spiegazione su come risolvere le disequazioni di secondo grado, ti consiglio di andare qui, oppure qui.

@us ...nice job



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Ti allego la soluzione ma ti invito a postare, per le prossime volte un tentativo di soluzione, come è prassi, per chiarirti meglio i dubbi specifici e non solo per offrirti una soluzione all’esercizio

image

 

@cenerentola ...nice job

Grazie! 



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area casa Ac= 12*(40+20) = 720 m^2

area terreno = 55*45 = 2475 m^2

area "verde+casa"  Au :

Au = (40+2x)*(32+2x) = 1280+80x+64x+4x^2 = 4x^2+144x+1280 

area verde Av = Au-Ac= 560+4x^2+144x 

 

casa a due piani 

560+4x^2+144x = 720*2 = 1440 

1440-560-144x-4x^2 = 0

220-36x-x^2 = 0

x = (36-√36^2+220*4)/-2 = 5,32 m 

40+2x = 50,6 m < 55 OK 

 

casa a 3 piani 

560+4x^2+144x = 720*3 = 2.160 

2160-560-144x-4x^2 = 0

400-36x-x^2 = 0

x = (36-√36^2+400*4)/-2 = 8,91 m 

40+2x = 57,8 m > 55 ..non fattibile 



Risposta




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