Un’amministrazione comunale emana una gara d’appalto per la costruzione di un caseggiato su un terreno rettangolare di 55 x 45 m. Il bando prevede che il caseggiato a forma di L sia circondato da una zona verde di area almeno doppia rispetto a quella occupata dalla casa, se questa ha al massimo due piani; se la casa ha da tre a cinque piani, l’area della zona verde deve essere tre volte quella del fabbricato. Le dimensioni della casa sono quelle indicate in figura.
Trova l’intervallo dei valori di x per i quali sono rispettate le condizioni poste.
iniziamo con la prima condizione, ovvero che la casa abbia 2 piani e quindi che l'area verde sia almeno il doppio dell'area della casa.
calcoliamo entrambe le aree:
AREA CASA
dividi la casa in 2 rettangoli, uno orizzontale e l'altro verticale.
quello orizzontale avrà dimensioni 40x12 = 480 m^2, mentre quello verticale sarà 20x12=240 m^2
l'area della casa sarà quindi 480+240= 720 m^2
AREA VERDE
l'area verde può dividersi in molti modi, ecco un esempio: due rettangoli (in basso e in alto) di area x(40+2x), due verticali (a destra e sinistra) di area 32x ed infine un rettangolo di area 20*(40-12) =560 m^2
in totale l'area verde sarà: 2x(40+2x) + 64x + 560 = 4x^2 + 144x + 560
ora imponiamo che questa area verde sia almeno il doppio dell'area della casa, quindi che sia maggiore o uguale a 1440
4x^2 + 144x + 560>1440 ---> 4x^2 + 144x -880 >0
la soluzione numerica accettabile è x>5.32
NB: dalla figura vediamo che le dimensioni dell'area verde sono 40+2x come base e 32+2x come altezza. siccome il terreno su cui dobbiamo costruire è 55x45 dobbiamo imporre che:
40+2x<55 ---> x<7.5
32+2x<45 ---> x<6.5
la soluzione di questo sistema è ovviamente x<6.5
quindi l'intervallo che noi vogliamo è 5.32<x<6.5
SECONDO PUNTO
rifare lo stesso calcolo imponendo che l'area verde sia 3 volte quella della casa (non c'è scritto almeno, quindi sarà un'equazione):
4x^2 + 144x +560 =2160 ---> 4x^2 + 144x - 1600=0
siccome la soluzione è x=8.9, il risultato è impossibile (ti ricordo che x al massimo può valere 6.5)
La cui soluzione è $x\leq\frac{13}{2}$, ovvero $x\leq6,5$.
• Prima richiesta
Per la costruzione della casa di due piani deve essere $4x^{2}+144x+560\geq2\cdot720$, ovvero $x^{2}+36x-220\geq0$.
Le soluzioni sono $x\leq-41,32\vee{x}\geq5,32$, di cui consideriamo solo l’intervallo a destra con le $x$ positive ($x$ rappresenta una lunghezza).
Quindi deve essere $5,32\leq{x}\leq6,5$. Ad esempio per $x=5,32$ il rettangolo verde che contiene la casa ha per lati $50,64m$ e $42,64m$, perciò è possibile la costruzione.
• Seconda richiesta
Per la costruzione della casa di tre piani deve essere $4x^{2}+144x+560\geq3\cdot720$, ovvero $x^{2}+36x-400\geq0$.
Le soluzioni sono $x\leq-44,91\vee{x}\geq8,91$ e di nuovo è accettabile solo l’intervallo a destra con le $x$ positive.
Con $x=8,91$ il rettangolo ha per lati $57,82m$ e $49,82m$, perciò non è possibile la costruzione perché si superano le dimensioni del terreno concesso.
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Se vuoi una spiegazione su come risolvere le disequazioni di secondo grado, ti consiglio di andare qui, oppure qui.
Ti allego la soluzione ma ti invito a postare, per le prossime volte un tentativo di soluzione, come è prassi, per chiarirti meglio i dubbi specifici e non solo per offrirti una soluzione all’esercizio