Anna vuole costruire con un cartoncino colorato di 12 x 9 cm una scatoletta da riempire con almeno 10 cioccolatini preparati da lei. Per far questo, ritaglia dai quattro angoli del cartoncino quattro quadratini, per poi ripiegare i lembi laterali. I cioccolatini hanno la forma di parallelepipedi rettangoli di dimensioni 4 x 2 x 1 cm.
Quale misura deve avere il lato del quadratino da ritagliare perché la scatola abbia il volume corrispondente ad almeno 10 cioccolatini?
Con le soluzioni limite trovate, quanti cioccolatini possono stare effettivamente nella scatola? Qual è la soluzione migliore?
• le misure sul disegno non sono rappresentative •
SOLUZIONE
• Prima richiesta
Indichiamo con $x$ il lato di ogni quadratino agli angoli del cartoncino, che va ritagliato per costruire la scatola. In tal modo la scatola ha come base un rettangolo di lati $12-2x$ e $9-2x$ e l’altezza è $x$.
Il volume della scatola si può esprimere come $(12-2x)\cdot(9-2x)\cdot{x}$.
Il volume di ogni cioccolatino è $4\cdot2\cdot1=8cm^{3}$.
Affinché la scatola contenga almeno $10$ cioccolatini deve essere $(12-2x)\cdot(9-2x)\cdot{x}\geq8\cdot10$ con la limitazione $0<x<\frac{9}{2}$ (data dal fatto che le dimensioni della scatola devono essere positive).
Svolgendo la disequazione si ottiene $4x^{3}-42x^{2}+108x\geq80$, ovvero $4x^{3}-42x^{2}+108x-80\geq0$.
Per facilitare i passaggi, si può vedere che $P(2)=0$ e procedere con la scomposizione con Ruffini, ottenendo $(x-2)(4x^{2}-34x+40)\geq0$.
La soluzione della disequazione è $\frac{17-\sqrt{129}}{4}\leq{x}\leq2\vee{x}\geq\frac{17+\sqrt{129}}{4}$.
Tenendo conto delle limitazioni la soluzione è$\frac{17-\sqrt{129}}{4}\leq{x}\leq2$, cioè $1,4\leq{x}\leq2$.
• Seconda richiesta
Analizziamo i due casi limite.
Con $x=1,4$ la scatola ha il rettangolo di base di $9,2$ e $6,2$ $cm$ e l’altezza di $1,4cm$; contiene perciò un solo strato di $6$ cioccolatini.
Con $x=2$ la scatola ha il rettangolo di base di $8$ e $5$ $cm$ e l’altezza di $2cm$; contiene perciò due strati di $4$ cioccolatini, ovvero $8$ cioccolatini... a meno che...
Anna si accorge che se invece di disporre i cioccolatini «orizzontalmente» li dispone in verticale (cioè in modo che poggino sulla faccia di $4\cdot1cm$), allora nella scatola ci stanno esattamente tutti e $10$ i cioccolatini. La soluzione migliore è quindi quella di ritagliare i quadratini di lato $x=2cm$.
Un "parallelepipedo rettangolo di dimensioni 4 x 2 x 1 cm" occupa 8 cm^3, in ciascuna delle tre posizioni. Ritagliando quattro quadratini di lato L > 0 cm si produce una scatola (solo fondo e sponde, quindi un vassoio) di volume * V(L) = (12 - 2*L)*(9 - 2*L)*L = 4*L^3 - 42*L^2 + 108*L cm^3. Affinché "la scatola abbia il volume corrispondente ad almeno 10 cioccolatini" occorre e basta che L soddisfaccia al sistema * (4*L^3 - 42*L^2 + 108*L >= 80) & (L > 0) ≡ ≡ (2*L^3 - 21*L^2 + 54*L - 40 >= 0) & (L > 0) ≡ ≡ ((L - 2)*(2*L^2 - 17*L + 20) >= 0) & (L > 0) ≡ ≡ ((L - 2 >= 0)*(2*L^2 - 17*L + 20 >= 0)) & (L > 0) ≡ ≡ (L - 2 >= 0) & (L > 0) oppure (2*L^2 - 17*L + 20 >= 0) & (L > 0) ≡ ≡ (L >= 2) oppure (0 < L <= (17 - √129)/4) oppure (L >= (17 + √129)/4) ≡ ≡ (0 < L <= (17 - √129)/4 ~= 1.4105) oppure (L >= 2) QUI HA TERMINE LA RISPOSTA CERTA AL QUESITO NON EQUIVOCO. ============================== I due quesiti successivi, formulati in termini equivoci, richiedono un'interpretazione e non è in alcun modo garentito che la mia coincida con quella di chi li ha formulati. ------------------------------ Al quesito "Qual è la soluzione migliore?" che chiede di ottimizzare qualcosa rispetto al criterio di confronto «'a Maronn' 'o sape!» posso solo dare la risposta «'a Maronn' 'o sape!». ------------------------------ Nel quesito "Con le soluzioni limite trovate, quanti cioccolatini possono stare effettivamente nella scatola?" trovo equivoche le espressioni: * "soluzioni limite" che interpreto come "valori d'eguaglianza delle diseguaglianze lasche" ((17 - √129)/4, 2); * "stare effettivamente nella scatola" che interpreto come "essere disposti sul vassoio". Con tali interpretazioni basta dividere la superficie di fondo * S(L) = (12 - 2*L)*(9 - 2*L) cm^2 per la minima area d'appoggio (2*1 = 2 cm^2) di un dolcetto per averne il numero * N(L) = (12 - 2*L)*(9 - 2*L)/2 cioccolatini --------------- Le due valutazioni sono * N((17 - √129)/4) = (12 - 2*(17 - √129)/4)*(9 - 2*(17 - √129)/4)/2 ~= ~= 28.3578 → 28 cioccolatini * N(2) = (12 - 2*2)*(9 - 2*2)/2 = 20 cioccolatini ============================== AGGIUNTA NON RICHIESTA Vedi l'andamento grafico delle relazioni fra le variabili in esame al link http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%28y-80%2F4%29*%28x-2%29*%28x-17%2F2%29%3D0%2Cy%3D%286-x%29*%289-2*x%29%5D
