In una semicirconferenza di diametro $A B$ considera una corda $D C$, parallela ad $A B$, con $C$ più vicino a $B$ di $D$. Detto $E$ il punto di intersezione delle diagonali del trapezio $A B C D$, determina le funzioni goniometriche dell'angolo $A \widehat{E} B$, sapendo che $D \widehat{A} B=C \widehat{B} A=\arcsin \frac{3}{5}$.
sapete come si continua?
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Livello 1
Essendo AB diametro della circonferenza, il triangolo ADB è rettangolo in D. Quindi l'angolo DBA = (pi/2 - beta)
Facendo riferimento alla figura, determino:
cos(gamma = DBA) = cos (pi/2 - beta) = sin(beta) = 3/5
sin(gamma = DBA) = radice (1 - 9/25) = 4/5
L'angolo alfa risulta:
alfa = pi - 2*gamma
Quindi:
sin(alfa) = sin (2*gamma) = 2*sin(gamma) *cos(gamma)
Sostituendo i valori numerici otteniamo:
sin(alfa) = 24/25
Possiamo determinare:
cos(alfa) = - cos (2*gamma) = 2*sin²(gamma) - 1
Sostituendo i valori numerici otteniamo:
cos(alfa) = 7/25
Quindi: tan(alfa) = 24/7
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Genius II
@stefanopescetto scusami, non ho capito perché il triangolo ADB è rettangolo in D, c'entra qualche proprietà dei trapezi?
Nessuna proprietà dei trapezi. AB è diametro della circonferenza. Quindi il triangolo è inscritto in una semicirconferenza. Ciò implica che il triangolo sia rettangolo. Il diametro è l'ipotenusa
