Le due iperboli $\alpha$ e $\beta$ condividono gli stessi asintoti di equazioni $2 x \pm 3 y=0$, hanno i fuochi l'una sull'asse delle ascisse e l'altra sull'asse delle ordinate, e sono entrambe tangenti all'ellisse $\gamma$ di equazione $9 x^2+16 y^2=144$.
a. Determina le equazioni delle due iperboli.
b. Calcola l'area del quadrilatero che ha per vertici i quattro fuochi delle due iperboli.
[a) $4 x^2-9 y^2=64,4 x^2-9 y^2=-81$; b) 52]
Mi serve un aiuto per il 402, grazie
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Livello 0
Calcolo dei vertici delle due iperboli:
{9·x^2 + 16·y^2 = 144
{x = 0
[x = 0 ∧ y = 3, x = 0 ∧ y = -3]
[0, 3]
[0, -3]
{9·x^2 + 16·y^2 = 144
{y = 0
[x = 4 ∧ y = 0, x = -4 ∧ y = 0]
[4, 0]
[-4, 0]
Iperbole con fuochi sull'asse delle x
x^2/α - y^2/β = 1
α = a^2
β = b^2
asintoti:
2·x ± 3·y = 0----> y = - 2·x/3 ∨ y = 2·x/3
β/α = (± 2/3)^2----> β/α = 4/9
{4^2/α - 0^2/β = 1
{β/α = 4/9
risolvo ed ottengo: [α = 16 ∧ β = 64/9]
x^2/16 - y^2/(64/9) = 1
x^2/16 - 9·y^2/64 = 1
4·x^2 - 9·y^2 = 64
Iperbole con fuochi sull'asse delle y
x^2/α - y^2/β = -1
{0^2/α - 3^2/β = -1
{β/α = 4/9
Risolvo ed ottengo: [α = 81/4 ∧ β = 9]
x^2/(81/4) - y^2/9 = -1
4·x^2/81 - y^2/9 = -1
4·x^2 - 9·y^2 = -81
calcolo fuochi delle due iperboli:
γ = c^2 = α + β
[α = 16 ∧ β = 64/9]
c^2 = 16 + 64/9---> c^2 = 208/9
c = - 4·√13/3 ∨ c = 4·√13/3
[- 4·√13/3, 0]
[ 4·√13/3, 0]
D= diagonale maggiore rombo definito dai fuochi delle due iperboli
D=8·√13/3
γ = c^2 = α + β
[α = 81/4 ∧ β = 9]
c^2 = 81/4 + 9----> c^2 = 117/4
c = - 3·√13/2 ∨ c = 3·√13/2
[0, - 3·√13/2]
[0, 3·√13/2]
d= diagonale minore rombo definito dai fuochi delle due iperboli
d = 3·√13
Α = 1/2·(8·√13/3)·(3·√13) = area rombo:
Α = 52
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