Problema di geometria sulla proporzionalità

Ti fornisco la mia soluzione nella quale ho utilizzato il Primo Teorema di Euclide e il Primo Criterio di Similitudine dei triangoli (allego al commento alcune foto del mio quaderno per poter visualizzare meglio la figura) : 

Per poter dimostrare che il segmento ST sia parallelo al segmento HL, basterebbe dimostrare che il rapporto HT : AH = LS : AL sia vero => Condizione di parallelismo, Corollario del teorema di Talete => ST // HL.

Per prima cosa applico il Primo Teorema di Euclide

e ottengo la relazione AB:AC = AT:AS che mi servirà dopo.

Disegno nuovamente il triangolo ABC con solamente le altezze CL e BH e le proiezioni di K

( KT e KS).

A questo punto noto che si forma un parallelogramma (so che è un parallelogramma perché ha i lati opposti paralleli a due a due) : in un parallelogramma gli angoli interni opposti sono congruenti; tramite il teorema degli angoli opposti al vertice ricavo una congruenza tra gli angoli EDK=TDC=KFE=SFB.

Sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo piatto e notando che i triangoli CTD e FSB (nel disegno sono molto piccoli, sorry...) sono triangoli rettangoli che hanno in comune l'angolo retto e un angolo acuto, quindi il terzo angolo restante sarà necessariamente congruente.

Noto poi che ci sono due triangoli rettangoli con due angoli ordinatamente congruenti : AHB e ACL con gli angoli ACL e ABH (angoli acuti congruenti), ALC e AHB (angoli retti congruenti); rientriamo quindi tra le ipotesi del primo criterio di similitudine dei triangoli => AHB e ACL sono triangoli simili => il rapporto tra i lati corrispondenti è costante.

Ottengo CLAB

Mi interessano in particolare gli ultimi due rapporti, che invertendo i termini proporzionali diventano => AB:AC = AH:AL

Sostituendo con la relazione ottenuta precedentemente dal primo teorema di Euclide si ottiene AT : AH = AS : AL => (AT-AH) : AH = (AS-AL): AL => HT : AH = LS : AL

=> ST // LH.

PS. Notare come il parallelogramma esiste finché il triangolo non è rettangolo: infatti mano a mano che facciamo tendere un angolo all'angolo retto, anche il parallelogramma "converge" al medesimo angolo, rimpicciolendosi sempre di più. Questo perché le altezze si avvicinano sempre di più ad essere coincidenti con i lati, quindi di conseguenza anche i piedi delle medesime altezze si avvicinano sempre di più al vertice formato dai due, di lì a poco, cateti.

PS II : ho anche creato anche un file geogebra dove è possibile visualizzare meglio e vedere la questione del triangolo rettangolo, però non riesco a condividerlo.