Problema di geometria su piramide a base rombica

Indica con:

 

D=8cm Diagonale maggiore

 

d=6cm Diagonale minore

 

D/2=8/2=4cm Metà diagonale maggiore

 

d/2=6/2=3cm Metà diagonale minore

Le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli uguali.Applica Pitagora ad uno di questi triangoli per calcolare il lato del rombo:

 

L=rad[(d/2)²+(D/2)²]=rad(3²+4²)=

=rad(9+16)=rad(25)=5cm LATO ROMBO

 

Il raggio della circonferenza inscritta è l'altezza di uno di questi rtriangoli:

 

r =(d/2)(D/2)/L=(4)(3)/2=12/5=2.4cm RAGGIO CIRCONFERENZA INSCRITTA

 

ap=7.4cm APOTEMA

 

Calcola l'altezza con Pitagora applicato al triangolo rettangolo avente per lati l'altezza ,il raggio e l'ipotenusa:

 

h=rad[(ap)²-(r)²]=rad[(7.4)²-(2.4)²]=

rad(54.76-5.76)=rad(49)=7cm ALTEZZA PIRAMIDE

 

Perimetro di base:

 

P=4(L)=4(5)=20cm PERIMETRO DI BASE (ROMBO)

 

Area laterale A(L):

 

A(L)=P(b)*ap/2=(20*7.4)/2=74cm² AREA LATERALE PIRAMIDE

 

Area di base A(b)

 

A(b)=D*d/2=(8*6)/2=24cm² AREA DI BASE

 

Volume V della piramide

 

V=A(b)*h/3=24*7/3=56cm³ VOLUME PIRAMIDE

 

Peso=Peso specifico*Volume=2.6*56=145.6g PESO SOLIDO

 

Volume V del cubo:

 

V=(49/8)(56)=343cm³ VOLUME CUBO

 

Lato L del cubo:

 

L=rad(cubica)[343]=7cm LATO CUBO

 

Area totale cubo:

 

A(t)=6*L²=6*7²=6*49=294cm² AREA TOTALE CUBO

Area rombo = D * d /2 = 6 * 8 /2 = 24 cm^2;

Area triangolino = Lato * h /2 = 24/4 cm^2;

Il raggio del cerchio inscritto è l'altezza relativa all'ipotenusa h di uno dei triangoli rettangoli che hanno per cateti le due semidiagonali e per ipotenusa il lato del rombo.

D/2 = 4 cm; d/2 = 3 cm;

Con Pitagora troviamo il lato del rombo:

L = radice(3^2 + 4^2) = 5 cm;

il lato è la base su cui cade l'altezza che è il raggio perpendicolare al lato del rombo tangente al cerchio.

Area triangolo = 24/4 = 6 cm^2

h = raggio =  Area triangolo * 2 /L = 12 / 5 = 2,4cm; (raggio cerchio inscritto).

altezza piramide:

H = radice(a^2 - r^2) = radice(7,4^2 - 2,4^2) = radice(49) = 7 cm;

Area laterale = Perimetro * apotema / 2;

A lat = (4 * 5) * 7,4 / 2 = 74 cm;

Volume piramide = A base * h / 3 = 24 * 7 / 3 = 56 cm^3;

Volume cubo = 49/8 * Volume piramide.

V cubo = 56 * 49 / 8 = 343 cm^3; (Volume Cubo).

Spigolo cubo = radice cubica(343) = 7 cm; il cubo ha 6 facce.

Area totale = 7^2 * 6 = 294 cm^2;

Peso (massa) della piramide:

Massa = densità * volume = (2,6 g/cm^3) * (56 cm^3) = 145,6 grammi.

Il peso specifico = 2,6 g/cm^3 è più correttamente la densità del materiale.

 

 

Una piramide retta è a base rombica con le diagonali BD di 6 cm ed AC di 8 cm; sapendo che l'apotema Vk della piramide è di a = 7,4 cm, calcola:

- la misura del raggio HK del cerchio inscritto nella base

lato CD = √3^2+4^2 = 5,0 cm

raggio HK = 3*4/5 = 2,40 cm 

 - la misura h dell'altezza HV della piramide

HV = √Vk^2-HK^2 = √7,4^2-2,4^2 = 7,00 cm

- l'area laterale Al della piramide

AL = 2p*a/2 = 2*5*7,4 = 74 cm^2

- l'area totale di un cubo equivalente ai 49/8 della piramide

Vpir = Ab*h/3 = (6*8)/2*7/3 = 56 cm^3

V cubo = 56*49/8 = 49*7 = 343 cm^3

L cubo = ³√343 = 7,00

Atc = 7^2*6 = 49*6 = 294 cm^2 

- il peso Fp della piramide, posto che sia di alluminio (ps = 2,6)

massa m = Vpir*ps = 56*2,6 = 145,60 grammi circa 

Fp = m*g = 145,60*9,806/1000 = 1,428 N circa