Buonasera,
ho provato a risolvere il seguente problema, senza successo.
È data la circonferenza avente centro nell'origine $O$ degli assi, passante per $A(2,0)$.
Determinare su di essa il punto $P$, appartenente al primo quadrante, tale che, detta $H$ la sua proiezione sulla retta di equazione $x = 2$, si abbia
$$
\tan(\widehat{PAH}) = \sqrt{2} - 1.
$$
Il mio procedimento è stato il seguente:
1. Considero il punto $B(-2,0)$ sulla circonferenza e traccio il segmento $PB$.
2. Indico con $\alpha$ l'angolo
$$
\widehat{PBA} = \alpha.
$$
3. Il triangolo $PBA$ è rettangolo in $P$ perché insiste sul diametro $AB$ (teorema di Talete).
Quindi
$$
\widehat{PAB} = 90^\circ - \alpha.
$$
4. Poiché la retta $x = 2$ è perpendicolare all'asse $x$, risulta che
$$
\widehat{PAH} = \alpha.
$$
5. I triangoli $APH$ e $APB$ hanno angoli congruenti, quindi sono simili.
6. Pertanto i lati sono in proporzione:
$$
AB : AP = AP : PH.
$$
7. Applicando il teorema della corda nella circonferenza di raggio $r = 2$, si ha
$$
AP = 2r \sin(\alpha) = 4\sin(\alpha).
$$
8. Sostituendo nella proporzione:
$$
4 : 4\sin(\alpha) = 4\sin(\alpha) : PH
$$
da cui si ottiene
$$
PH = 4\sin^2(\alpha).
$$
Sarei grato se poteste segnalarmi eventuali errori nel procedimento.
Grazie.
