aiutatemi

TAN(β) = AC/AB

AB = AC/TAN(β) = 12·a/3 = 4·a

ΒC = √((4·a)^2 + (12·a)^2)----> ΒC = 4·√10·a

SIN(β) = 12·a/(4·√10·a)---> SIN(β) = 3·√10/10

SIN(θ) = SIN(2·γ) = 2·SIN(γ)·COS(γ)

SIN(γ) = 4·a/(4·√10·a)---> SIN(γ) = √10/10

COS(γ) = √(1 - (√10/10)^2)----> COS(γ) = 3·√10/10

SIN(θ) = 2·(√10/10)·(3·√10/10)----> SIN(θ) = 3/5

Nel triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC misura 12a e tan ABC = 3. Determina:

1. le misure dei lati del triangolo e il seno di ABC;
2. il seno di AMB, essendo M il punto medio dell'ipotenusa BC.

1)

angolo ABC = arctan(3) = 71,565°

sin ABC = 0,9487

angolo ACB = 90°-ABC = 18,435°

sin ACB = 0,3162 

AC/0,9487 = BC/1

BC = 12a/0,9487 = 12,65a

12,65/1 = AB/0,3162

AB = 12,65*0,3162 = 4,00a 

2)

MB = 12,65a/2

AM = a√12,65^2/4+4^2-2*12,65/2*4*cos 71,565° = 6,325a

p1 = a(4^2/12,65) = 1,265a

MH = a(12,65/2-1,265) = 5,060a

AH = a(12*4)/12,65 = 3,795a 

angolo AMB = arctan 3,795/5,060 = 36,87°...il cui seno vale 0,600

α = angolo AMB; β = angolo ABM; γ = angolo ACB.

AC = 12 a;   (β angolo in B, opposto ad AC);

tanβ = 3;

tanβ = AC / AB;

3 = 12a / AB;

AB = 12a / 3 = 4a;

BC è l'ipotenusa:

BC = radicequadrata[(12a)^2 + (4a)^2] = radice(160a^2)

BC = 4a * radice(10); ipotenusa;

senβ = AC / BC;

senβ = 12a / [4a radice(10)] = 3 /radice(10);

senβ = 3 radice(10) / 10; seno dell'angolo ABC,

La mediana AM è metà ipotenusa;

AM = BC / 2 = 2a radice(10);

AM = CM

ACM = triangolo isoscele ;

AMB = angolo esterno  

seno dell'angolo in C = γ ;

sen γ  = AB / BC = 4a / [4a * radice(10)];

senγ = 1 / radice(10) = radice(10) /10;

cosγ = AC / BC = 12a / [4a * radice(10)];;

cosγ = 3 / radice(10)] = 3 * radice(10) / 10;

angolo AMB = 2γ ;

sen 2γ  = sen(γ + γ) = 2 senγ cosγ;

sen 2γ = 2 * [radice(10) /10] * 3 * radice(10) / 10 ;

sen 2γ = 6 * 10 /100 = 6/10 = 3/5; angolo AMB.

Ciao  @francesco124