[Risolto] Problema di geometria analitica, dubbio sul risultato del libro

Risposta cattiva: lo sbaglio non è tuo, ma di chi adottò un libro che propone problemi indeterminati.
La retta
* r ≡ AB ≡ y = 2*(2 - x)
è l'unica cosa attendibile del testo, il resto è tutt'un dubbio.
«Scrivi l'equazione della parabola avente vertice nel punto A(2,0) e passante per il punto B(0,4).» che consegna è?
Posso scrivere di botto le parabole con asse di simmetria parallelo a un asse coordinato e, con un po' di algebra, un fascio con assi di diverse inclinazioni.
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* x = 2 - y^2/8
* y = (x - 2)^2
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*%282-x%29%2Cx%3D2-y%5E2%2F8%2Cy%3D%28x-2%29%5E2%5Dx%3D-20to20%2Cy%3D-20to20
o, evidenziando "l'arco A,B" di tutt'e due,
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*%282-x%29%2Cx%3D2-y%5E2%2F8%2Cy%3D%28x-2%29%5E2%5Dx%3D-1to3%2Cy%3D-1to5
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La generica parabola del piano Oxy è
* Γ ≡ (u*x + v*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
e imporne il passaggio per A e B
* ((u*2 + v*0)^2 + a*2 + b*0 + c = 0) & ((u*0 + v*4)^2 + a*0 + b*4 + c = 0) ≡
≡ (a = - (c + 4*u^2)/2) & (b = - (c + 16*v^2)/4)
da cui
* Γ ≡ (u*x + v*y)^2 - ((c + 4*u^2)/2)*x - ((c + 16*v^2)/4)*y + c = 0
determina due dei cinque parametri in funzione degli altri tre.
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Imporre che A sia il vertice è meno semplice.
Vuol dire che la retta per A con la pendenza m = v/u della direttrice
* t ≡ y = (v/u)*(x - 2)
dev'essere tangente, cioè che la risolvente del sistema t & Γ
* (u*x + v*((v/u)*(x - 2)))^2 - ((c + 4*u^2)/2)*x - ((c + 16*v^2)/4)*((v/u)*(x - 2)) + c = 0 ≡
≡ 4*((u^2 + v^2)^2)*x^2 - (8*((u^2 + v^2)^2 + v^4) + u*(c*(2*u + v) + 16*v^3))*x + 2*(2*u + v)*(c*u + 8*v^3) = 0
deve avere discriminante nullo
* Δ(c) = (u^2)*((2*u + v)*c - 8*(u^3 + 2*u*v^2 - 2*v^3))^2 = 0
cioè solo
* (2*u + v)*c - 8*(u^3 + 2*u*v^2 - 2*v^3) = 0 ≡ c = 8*(u^3 + 2*u*v^2 - 2*v^3)/(2*u + v)
in quanto, avendo già scritto la x = 2 - y^2/8, nel semplificare la risolvente ho fatto uso di u != 0.
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In conclusione il fascio ha un'espressione orribile, ma solo in (u, v): cioè nella pendenza dell'asse
* Γ ≡ (u*x + v*y)^2 - 2*((4*u^3 + (u^2 + 4*(u - v)*v)*v)/(2*u + v))*x - ((2*(u^2 + 6*v^2)*u)/(2*u + v))*y + 8*(u^3 + 2*u*v^2 - 2*v^3)/(2*u + v) = 0
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Esempi
* (x + y)^2 - 2*(5*x + 7*y - 4)/3 = 0
* (x - y)^2 - 2*(11*x + 7*y - 20) = 0
* (x + 3*y/2)^2 - 2*(2*x + 29*y + 10)/7 = 0
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x--y%29%5E2-2*%285*x--7*y-4%29%2F3%3D0%2C%28x-y%29%5E2-2*%2811*x--7*y-20%29%3D0%2C%28x--3*y%2F2%29%5E2-2*%282*x--29*y--10%29%2F7%3D0%5D
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Secondo quel cretino dell'autore, adesso che ho soddisfatto alla prima consegna, su quale delle infinite parabole dovrei lavorare per le consegne successive?

 

Ha ragione il testo.

[x, x^2 - 4·x + 4] è il punto P

y = ΡΗ + 2·√5·ΡΚ

ΡΗ = x^2 - 4·x + 4

Per la distanza di P dalla retta: y = 4 - 2·x

riporto forma implicita: 2·x + y - 4 = 0

ΡΚ = ABS(2·x + x^2 - 4·x + 4 - 4)/√(2^2 + 1^2)

ΡΚ = √5·ABS(x·(x - 2))/5

quindi:

y = x^2 - 4·x + 4 + 2·√5·√5·ABS(x·(x - 2))/5

Devi quindi liberare il modulo!

y = 2·ABS(x·(x - 2)) + x^2 - 4·x + 4

per 0 < x < 2

ABS(x·(x - 2)) = - x·(x - 2)

Quindi scrivi: ABS(x·(x - 2)) = 2·x - x^2

y = 2·(2·x - x^2) + x^2 - 4·x + 4

y = 4 - x^2