[Risolto] ellisse

Cara Anna, benvenuta fra noi!
Devo obiettare però che la tua mamma zoccola (poverina, perché la chiami così?), fra le tante cose in cui t'ha sicuramente educata, ne ha trascurate due che per frequentare questo sito hanno un certo valore: la dattilografia, che è importante per rispetto a chi ti legge; una qualche corretta sintassi delle espressioni, che è essenziale per farti capire senza equivoci.
L'accapo a casaccio prima di "variare di k." e le righe vuote senza motivo sono fastidiose da vedere, ma pretendere che la folle stringa "k2x2 + y? = 4" possa mai rappresentare l'equazione di un'ellisse oltre ad essere una follia è un'offesa per chi ti legge e un danno per te: non puoi sapere come ciascun responsore la interpreterà, sempreché accetti di rispondere a una domanda così mal presentata.
Fine del benvenuto.
Passo all'esercizio con l'interpretazione secondo me.
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Considerare il fascio di ellissi, di parametro k ∈ R,
* Γ(k) ≡ (k^2)*x^2 + y^2 = 4
e studiarne le caratteristiche al variare di k.
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Il fascio
* Γ(k) ≡ (k^2)*x^2 + y^2 = 4 ≡
≡ (k^2)*x^2/4 + y^2/4 = 1 ≡
≡ (x/(2/k))^2 + (y/2)^2 = 1
genera i seguenti tipi di conica al variare di k ∈ R (le ellissi riferite ai proprî assi)
1) k < 0: ellissi coi fuochi sull'asse y
2) k = 0: parabola degenere su una coppia di parallele distinte
3) 0 < k < 1: ellissi coi fuochi sull'asse x
4) k = 1: l'unica circonferenza
5) k > 1: ellissi coi fuochi sull'asse y
avendo
* centro O(0, 0)
* semiassi (a, b) = (2/k, 2)
* semidistanza focale c = √(a^2 + b^2) = 2*√(1 + 1/k^2)
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La retta
* t ≡ 3*x - 2*y + 6 = 0 ≡ y = 3*(x + 2)/2
a sistema con Γ(k) dà luogo alla risolvente
* (x/(2/k))^2 + ((3*(x + 2)* Γ(k) ≡ (k^2)*x^2 + y^2 = 4 ≡
≡ (k^2)*x^2/4 + y^2/4 = 1 ≡
≡ (x/(2/k))^2 + (y/2)^2 = 1
/2)/2)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (4*k^2 + 9)*x^2 + 36*x + 20 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(k) = 64*(9 - 5*k^2) = 0 ≡ k = ± 3/√5
da cui
* Γ(± 3/√5) ≡ (9/5)*x^2 + y^2 = 4
* (y = 3*(x + 2)/2) & ((9/5)*x^2 + y^2 = 4) ≡ P(- 10/9, 4/3)
con
* centro O(0, 0)
* semiassi (a, b) = (2*√5/3, 2)
* semidistanza focale c = 2*√(1 + 5/9) = 2*√14/3
* fuochi (0, ± 2*√14/3)
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La retta per P(- 10/9, 4/3) di pendenza m = - 2/3 antinversa a quella di t è la normale
* n ≡ y = 16/27 - (2/3)*x
che taglia l'asse y in Q(0, 16/27)
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L'area S del triangolo di vertici
* P(- 10/9, 4/3), F(0, 2*√14/3), Q(0, 16/27)
è il semiprodotto fra la base b = 2*√14/3 - 16/27 = 2*(9*√14 - 8)/27 e l'altezza h = 10/9
* S = (2*(9*√14 - 8)/27)*(10/9)/2 = 10*(9*√14 - 8)/243 ~= 1

Non rispondo perché mi avete offeso la mamma. 
Fra l’altro un nick name banale e scontato. 
Ragazzi un po’ di fantasia anche saper offendere richiede intelligenza 💁🏻‍♀️