Nel triangolo $ABC$, isoscele sulla base $AB$, è $\overline{A B}=2 a$ e $A \widehat{B} C=C \widehat{A} B=x .$ Nel semipiano di origine $B C$, non contenente $A$, costruisci il triangolo rettangolo isoscele $B C D$, di ipotenusa $B D$. Determina $x$ in modo che l'area del quadrilatero $A B D C$ sia $8 a^{2}$.
[Si giunge all'equazione $2 \sin x \cos x+1=16 \cos ^{2} x ;$ il problema ha una sola soluzione: $\left.x=\arctan 3\right]$
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Ciao e benvenuto.
Chiamo con α l'angolo in questione anziché x. Faccio riferimento alla figura allegata (angolo generico, tanto per fare riferimento). Nella figura ho messo AB=2 anziché 2a.
Il quadrilatero ABCD è pari alle somma del triangolo isoscele e del triangolo rettangolo isoscele.
La ti obliqui e cateti dei due triangoli sono pari al raggio della circonferenza.
r=AC=BC=CD=a/COS(α)
Area triangolo rettangolo BCD=1/2·(a/COS(α))^2 = a^2/(2·COS(α)^2)
Area triangolo isoscele=a·(a·TAN(α)) = a^2·TAN(α)
Quindi scriviamo:
a^2/(2·COS(α)^2)+a^2·TAN(α)=8a^2
TAN(α) + 1/(2·COS(α)^2) = 8
(2·SIN(α)·COS(α) + 1)/(2·COS(α)^2) = 8
2·SIN(α)·COS(α) + 1 = 16·COS(α)^2
2·SIN(α)·COS(α) + SIN(α)^2 + COS(α)^2 = 16·COS(α)^2
2·SIN(α)·COS(α) + SIN(α)^2 - 15·COS(α)^2 = 0
Posto:
X=COS(α)
Y=SIN(α)
Risolvo il sistema in X ed Y:
{Y^2-15X^2+2XY=0
{X^2+Y^2=1
Risolvo ed ottengo: x = √10/10 ∧ y = 3·√10/10 (Altre 3 portano valori negativi quindi le escludo)
Quindi:
{COS(α)=√10/10
{SIN(α) = 3·√10/10
tan(α)=3·√10/10/(√10/10) = 3------>α = ATAN(3) = 1.249 in radianti
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Genius III
@lucianop 👍👌👍
Inutile che te lo dica: il risultato arctan(-5) è da escludere in quanto l'angolo lo consideriamo positivo, per ovvi motivi.
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@marco_luca ti ringrazio molto!!
@marco_luca 👍👌👍
