[Risolto] Matematica

Temo che tu abbia avuto problemi non solo a risolvere, ma anzitutto a comprendere questo esercizio e, quindi, a riproporlo a noi.
In futuro trascrivi lettera per lettera, sientammè!
---------------
"Sia P(X) un polinomio di terzo grado a coefficienti reali" vuol dire
* P(X) = a*(X^3 + b*X^2 + c*X + d)
e questo non può essere "divisibile per x^2+1" perché il quadrinomio P(X) e il binomio "x^2 + 1" sono polinomi in due variabili diverse.
Quello che hai scritto equivale a dire che
* «a*(u^3 + b*u^2 + c*u + d) è divisibile per y^2 + 1»
che, ovviamente, è un'idiozia.
---------------
"è pari a" vuol dire "=", quindi se scrivi "l'equazione è pari a P(X)=0" stai dicendo che "equazione = P(X)=0" che, ovviamente, è un nonsense.
-----------------------------
Se avessi compreso il testo originale ci avresti chiesto
«Quante radici ha l'equazione p(x) = 0, dove p(x) è un polinomio a coefficienti reali di grado tre nella variabile reale x, divisibile per il binomio x^2 + 1?»
e io t'avrei risposto come segue.
1) Il Teorema Fondamentale dell'Algebra stabilisce che l'equazione ottenuta annullando un polinomio p(x) di grado N ha esattamente N radici, distinte o no.
2) Se i coefficienti di p(x) sono tutti reali allora le eventuali radici complesse si presentano in coppie coniugate.
3) Pertanto le radici di un'equazione ottenuta annullando un polinomio p(x) di grado dispari a coefficienti reali non possono essere tutte complesse: un numero dispari di esse devono essere reali.
4) NEL CASO IN ESAME
Se
* p(x) = a*(x^3 + b*x^2 + c*x + d) = a*(x^2 + 1)*(x - r)
allora la radice r deve necessariamente essere reale perché
* x^2 + 1 = (x + i)*(x - i)
non ha fattori reali.
==============================
"quante soluzioni ha?"
HA (come qualsiasi altra equazione) UNA SOLA SOLUZIONE COMPOSTA DA TRE RADICI DISTINTE: UNA REALE E DUE COMPLESSE CONIUGATE.

C'è un po' di confusione nella traccia, non si capisce nulla: cerco di rispondere per quanto mi è risultato chiaro.

Se P(x) è un polinomio di 3 GRADO vorrà dire che avrà 3 soluzioni GARANTITE nel campo complesso. Nel campo reale invece devi fare questa valutazione:

visto che P(x)=(x^2+1)*(x-a) (ce lo dice il teorema di ruffini, non sto inventando nulla).
e visto che (x^2+1) non ha soluzioni in R, allora il polinomio P(x) ha solo 1 SOLUZIONE REALE (e 2 CONIUGATE COMPLESSE se vogliamo mettere il campo complesso di mezzo, ma non conoscendo le circostanze della domanda non so cosa risponderti).

Ma più che esercizio, mi sembra una domanda di verifica della teoria, la risposta non richiede calcoli. Non so se ho risposto alla domanda...

quante soluzioni ha? UNA SOLA nell'ambito dei numeri reali:

P(x)=(ax+b)*(x^2+1)------->x=-b/a a non nullo!