[Risolto] Problema di geometria analitica

@somoya

Ciao. Rivediamo i calcoli da te svolti. C(x,0) il centro sta sull'asse delle x. Impongo l'equidistanza del centro dai punti A e B:

√((2·√2 - x)^2 + (2·√2 - 0)^2) = √((-4 - x)^2 + 0^2)

elevando al quadrato (sono distanze e quindi positive)

(x^2 - 4·√2·x + 8) + 8 = (x^2 + 8·x + 16) + 0^2

x^2 - 4·√2·x + 16 = x^2 + 8·x + 16

x = 0    Quindi centro C è origine degli assi cartesiani.

r=|0-4|=4

Quindi giusta l'equazione: x^2 + y^2 = 16

----------------------------------------------

Equazioni rette tangenti in A e B. Applico le formule di sdoppiamento:

In A(-4,0) si può evitare di farlo: x=-4 quindi giusto!

In B(2√2,2√2):

x*2√2+y*2√2=16

Risolvo : y = 4·√2 - x quindi giusto!

------------------------------------------

Coordinate del punto C, d’intersezione delle tangenti. Quindi sistema:

{ y = 4·√2 - x

{x=-4

Risolvo ed ottengo: x = -4 ∧ y = 4·√2 + 4       C(-4,4·√2 + 4 )

Anche questo giusto!

------------------------------------------------------------

Area della regione finita di piano costituita dai punti del triangolo ABC esterni alla circonferenza γ.

Devi integrare la differenza: d(x)=(4·√2 + 4 )- √(16 - x^2) fra -4 e 2√2

Quindi

(4·√2 + 4) - √(16 - x^2)----->∫((4·√2 + 4) - √(16 - x^2)dx =

=- 8·ASIN(x/4) - x·√(16 - x^2)/2 + x·(4·√2 + 4) +C (integrale generale, C= costante di integrazione)

Per l'integrale definito dovresti ottenere:

- 6·pi + 24·√2 + 28

Ciao

 

Vediamo di rispondere in altro modo ai risultati trovati.

Un invito nello scrivere correttamente prima di inviare il post:

Considera i due punti A(–4, 0) e B(2·√2, 2·√2)

Determina l’equazione della circonferenza γ, passante per i due punti A e B, avente il centro sull’asse x.

Determiniamo l'asse del segmento AB che è corda della circonferenza da determinare.

mAB= coefficiente angolare del segmento AB:

mAB=(2·√2 - 0)/(2·√2 + 4) = √2 - 1

punto medio AB:

{x=(-4 + 2·√2)/2 = √2 - 2

{y=(0 + 2·√2)/2 = √2

Asse del segmento AB ha equazione:

y-√2=1/(1-√2 )(x-√2 + 2)--------> y = - x·(√2 + 1) (si è tenuto conto delle condizioni di perpendicolarità alla corda AB)

retta per O(0,0) quindi centro circonferenza O(0,0) e raggio r=4 (distanza di O da A)

Quindi giusta l'equazione: x^2 + y^2 = 16

----------------------------------------------------------------------

rette tangenti in A e B:

x=-4 e y = 4·√2 - x ( le formule di sdoppiamento sembrano le migliori)

Quindi giusto!

---------------------------------------------------------------

Giusto anche C(-4,4·√2 + 4 ) con il sistema delle due rette.

---------------------------------------------------------------

Area della regione finita di piano costituita dai punti del triangolo ABC esterni alla circonferenza γ.

Vediamo di ottenere il risultato senza ricorrere agli integrali

Area settore circolare OAB:

semicirconferenza -1/8 circonferenza= (tenendo conto della posizione di B!)

pi·r^2/2 - pi·r^2/8 = 3·pi·r^2/8------>= 6pi

 tenendo conto che r=4

Area quadrilatero OBCA = OB*BC =4·√((2·√2 + 4)^2 + (2·√2 - 4·√2 - 4)^2) = 16·√2 + 16

Quindi area incognita=16·√2 + 16-6pi

 

 

Grazie a te, non sai che piacere ho quando leggo una domanda ben posta!
T'ho clickato una freccia in su per la gratitudine.
Poi ti rispondo nel dopopranzo.
------------------------------
1) Errore di tastiera?
Uno dei punti è A(– 4, 0), ma l'altro è B1(22, 22) oppure B2(2, 22)?
------------------------------
2) Errore di centratura
La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 16 = 0 ≡ x^2 + y^2 = 4^2
centrata nell'origine e di raggio r = 4 NON PUO' PASSARE per nessuno dei due punti B che hanno almeno una coordinata di valore 22.
Il centro C di Γ, oltre ad essere C(k, 0) per appartenere all'asse x, deve anche essere equidistante da A e B e la comune distanza è il valore del raggio di Γ; cioè dev'essere il punto di ordinata zero dell'asse di AB.
---------------
L'asse di AB1 è
* y = (238 - 13*x)/11
da cui
* C(238/13, 0)
* r = |AC| = 290/13
* Γ1 ≡ (x - 238/13)^2 + y^2 = (290/13)^2 ≡
≡ 13*x^2 + 13*y^2 - 476*x - 2112 = 0
---------------
L'asse di AB2 è
* y = (118 - 3*x)/11
da cui
* C(x = 118/3, 0)
* r = |AC| = 130/3
* Γ2 ≡ (x - 118/3)^2 + y^2 = (130/3)^2 ≡
≡ 3*x^2 + 3*y^2 - 236*x - 992 = 0
---------------
Ovviamente da qui in poi i tuoi "Mi viene" non li verifico più.
==============================
QUESITI SUCCESSIVI
------------------------------
b) Rette tangenti Γ in A e in B.
Per sdoppiamento sul polo P(u, v)
* x^2 → u*x; y^2 → v*y; x → (u + x)/2; y → (v + y)/2
------------------------------
c) Punto C, d'intersezione fra tA e tB.
* tA & tB ≡ (x = - 4) & (boh1) ≡ C(- 4, boh2)
------------------------------
d) Area A della parte del triangolo ABC esterna a Γ.
* A = S(ABC) - S(sc)
* S(ABC) = boh3
L'area del "segmento circolare sc" di altezza h, tagliato da una corda lunga c e distante d dal centro di un cerchio di raggio r, è data da
* S(sc) = arccos(1 - h/r)*r^2 - d*√(r^2 - d^2)
inoltre
* r = d + h
* c = 2*√(r^2 - d^2)
http://it.wikipedia.org/wiki/Segmento_circolare#Area_in_funzione_dell%27altezza
---------------
Avendo la lunghezza r del raggio e le posizioni di A e B si calcola la lunghezza della corda
* c = |AB| = 2*√(r^2 - d^2)
da cui
* d = √(4*r^2 - c^2)/2
* h = r - √(4*r^2 - c^2)/2
* A = S(ABC) - S(sc)