PROBLEMA DI GEOMETRIA ANALITICA

c = √((3 + 3)^2 + (2 + 1)^2)---> c = 3·√5

a = √((3 - 5)^2 + (2 - 0)^2)---> a = 2·√2

{b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·COS(β)

{b^2 = 1^2 + 8^2

La 1^ Th del coseno, la 2^ Th Pitagora

b^2 = 65----->b = √65

65 = (2·√2)^2 + (3·√5)^2 - 2·(2·√2)·(3·√5)·COS(β)

65 = 8 + 45 - 2·(2·√2)·(3·√5)·COS(β)

12·√10·COS(β) = 8 + 45 - 65

12·√10·COS(β) = -12

COS(β°) = - 12/(12·√10)-----> COS(β°) = - √10/10

β° = 108.43°

TAN(β°) = √(1 - (- √10/10)^2)/(- √10/10)

TAN(β°) = -3

Nel triangolo di vertici A ( -3; -1), B (3;2) e C( 5;0) calcola la tangente goniometrica dell'angolo in B e determina il lato AC applicando il teorema del coseno

AB =√6^2+3^2 = √45 = 3√5

BC =  √2^2+2^2 = √8 = 2√2

AC = √8^2+1^2 = √65

teorema del coseno :

65 = 45+8-12√10 * cos B

12√10 * cos B =  -12

cos B * √10 = -1 

cos B = -√10 /10

angolo B = arccos -(√10 /10) = 108,435°

sin B = √1-cos^2 B = √1-10/100 = √9/10 = 3/√10 = 3√10 /10

tan B = sin B / cos B = 3√10 /10 / -√10 /10 = -3

verifica di AC 

AC^2 = 45+8-12√10*-√10 /10 = 45+8+12 = 65

AC = √65   Q.E.D. 

In figura con Pitagora si trovano i tre lati:

AC^2 = 65;   AB^2 = 45;  BC^2 = 8;

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB * BC * cosβ;  (teorema del coseno; relazione tra i lati di un triangolo)

2 AB * BC * cosβ = AB^2 + BC^2 - AC^2;

2 * [radice(45) * radice(8)] cosβ = 45 + 8 - 65;

2 * [radice(45 * 8)] cosβ = - 12;

[radice(45 * 8)] cosβ = - 12/2;

radice(360) cosβ = - 6,

6 * radice(10) cosβ = - 6,

cosβ = - 6 / [6 radice(10)] = - 1 / [radice(10)];

cosβ = - radice(10) / 10; 

(cosβ)^2 = 10/100 = 1/10;

(sen β)^2 + (cos β)^2 = 1;

(sen β)^2 = 1 - (cosβ)^2 ;

(sen β)^2 = 1 - 1/10;

sen β = radicequadrata(9/10) ;

sen β = 3 / [radice(10)] = 3 * radice(10) / 10;

tan β = sen β / cos β;

tan β = [ 3 * radice(10) / 10] : [ - radice(10) / 10];

tan β = - 3; 

con la calcolatrice: 

cosβ = - radice(10) / 10 = - 0,3162;

β = arcos(- 0,3162) = 108,43°;

tan β = - 3.

@fabiana1975  ciao.

Aiutati con questo diagramma:

Possiamo calcolare l'equazione della retta passante per $\overline{BC}$:

$\dfrac{y-y_B}{y_B-y_C}=\dfrac{x-x_B}{x_B-x_C}$

$\dfrac{y-2}{2-0}=\dfrac{x-3}{3-5}$
$x+y-5=0$

La distanza da $P$ alla retta $\overline{BC}$ (cioè la lunghezza della perpendicolare a $\overline{BC}$ passante per $P$) può essere calcolata con la formula della distanza punto-retta, e nel diagramma corrisponde alla lunghezza di $\overline{AT}$.

$\overline{AT}=\dfrac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|-3(1)+(-1)(1)-5|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{9}{\sqrt{2}}$

Possiamo calcolare $\overline{AB}$ con i dati forniti:

$\overline{AB}=\sqrt{(-3-3)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

Abbiamo un triangolo rettangolo $ABT$, possiamo calcolare le funzioni goniometriche degli angoli interni come rapporti dei lati del triangolo.

Se indichiamo con $\gamma$ l'angolo $\widehat{TBA}$, otteniamo che $\sin(\gamma)=\dfrac{\overline{AT}}{\overline{AB}}=\dfrac{9}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{{3\sqrt{5}}}$ = $\dfrac{3}{\sqrt{10}}$. Ne segue che $\cos(\gamma)=\sqrt{1-\sin^2(\gamma)}=\sqrt{1-\dfrac{9}{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$, quindi $\tan(\gamma)=\dfrac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=3$. Notiamo che $\gamma = \pi - \widehat{ABC} \implies \tan(\widehat{ABC})=-\tan(\gamma)=-3$, mentre $\cos(\widehat{ABC})=\cos(\pi-\gamma)=-\cos(\gamma)=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$.

Calcoliamo $\overline{BC}=\sqrt{(5-3)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Per il teorema del coseno $\overline{AC}=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AB} \cdot \overline{BC} \cos(\widehat{ABC})=45+8+2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}}=65$.

Svolgo a mano