Algebra

Punto a)

2·x^2 + (3 - 2·k)·x - 3·k = 0

Δ ≥ 0

(3 - 2·k)^2 - 4·2·(- 3·k) ≥ 0

(4·k^2 - 12·k + 9) + 24·k ≥ 0

4·k^2 + 12·k + 9 ≥ 0

(2·k + 3)^2 ≥ 0------> true

Qualsiasi valore reale di k va bene.

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Punto b)

Applichiamo la regola di Cartesio : occorrono 2 permanenze P

{2·(3 - 2·k) > 0

{(3 - 2·k)·(- 3·k) > 0

quindi:

{k < 3/2

{k < 0 ∨ k > 3/2

Quindi: [k < 0]

Alternativamente:

{s = - b/a < 0 (somma radici)

{p = c/a > 0 (prodotto radici)

quindi:

{(2·k - 3)/2 < 0

{(- 3·k)/2 > 0

cioè:

{k < 3/2

{k < 0

fornisce sempre: [k < 0]

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Punto c)

α < β le due radici distinte

Δ = (3 - 2·k)^2 + 24·k > 0----> k ≠ - 3/2

α = ((2·k - 3) - √Δ)/4

β = ((2·k - 3) + √Δ)/4

β - α = 1

((2·k - 3) + √Δ)/4 - ((2·k - 3) - √Δ)/4 = 1

√Δ/2 = 1

ABS(2·k + 3) = 2

che equivale a:

2·k + 3 = -2 ∨ 2·k + 3 = +2

quindi:

k = - 5/2 ∨ k = - 1/2

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Punto d)

1/(α·β) = 1/3----> α·β = 3

((2·k - 3) - √Δ)/4·(((2·k - 3) + √Δ)/4) = 3

(2·k + √Δ - 3)·(2·k - √Δ - 3)/16 = 3

(4·k^2 - 12·k - Δ + 9)/16 = 3

4·k^2 - 12·k - Δ + 9 - 48 = 0

4·k^2 - 12·k - Δ - 39 = 0

con Δ = (2·k + 3)^2 > 0

abbiamo:

4·k^2 - 12·k - (2·k + 3)^2 - 39 = 0

- 24·k - 48 = 0----> k = -2

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Punto e)

α = ((2·k - 3) - √Δ)/4

β = ((2·k - 3) + √Δ)/4

β = 2·α

((2·k - 3) + √Δ)/4 = 2·((2·k - 3) - √Δ)/4

(2·k - 3) + √Δ - 2·((2·k - 3) - √Δ) = 0

- 2·k + 3·√Δ + 3 = 0

Δ = (2·k + 3)^2 > 0

- 2·k + 3·ABS(2·k + 3) + 3 = 0

3·ABS(2·k + 3) = 2·k - 3

ABS(2·k + 3) = (2·k - 3)/3

elevo al quadrato:

(2·k + 3)^2 - (2·k - 3)^2/9 = 0

8·(k + 3)·(4·k + 3)/9 = 0----> k = - 3/4 ∨ k = -3

Lo svolgo a mano nel modo più rapido possibile. 

https://www.sosmatematica.it/contenuti/il-delta-generalizzato-equazioni-di-secondo-grado/