[Risolto] Problema di geometria

Propongo solo uno sviluppo algebrico.

Verrà qualcuno con più voglia di spenderci tempo e ne farà uno

puramente geometrico.

Se il triangolo fosse qualsiasi la somma dei diametri sarebbe

D + d = 2* (2S/P + abc/(4S)) e non andremmo lontano.

Ma se il triangolo é rettangolo allora

d = 4S/P = 2ab/(a + b + rad(a^2+b^2) ) =

= 2ab(a + b - rad(a^2 + b^2))/(a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2) =

= 2ab(a + b - c)/(2ab) = a + b - c

D = 2abc/(4*ab/2) = abc/(ab) = c

D + d = a + b - c + c = a + b.

Nel triangolo rettangolo di lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
si ha
* perimetro p = a + b + √(a^2 + b^2)
* area S = a*b/2
* circumraggio R = c/2 = √(a^2 + b^2)/2
* inraggio r = 2*S/p = a*b/(a + b + √(a^2 + b^2))
* somma dei cateti = s = a + b
* somma dei diametri = D = 2*(R + r) =
= 2*(√(a^2 + b^2)/2 + a*b/(a + b + √(a^2 + b^2))) =
= √(a^2 + b^2) + 2*a*b/(a + b + √(a^2 + b^2)) =
= ((a + b + √(a^2 + b^2))*√(a^2 + b^2) + 2*a*b)/(a + b + √(a^2 + b^2)) =
= ((a + b)*√(a^2 + b^2) + a^2 + b^2 + 2*a*b)/(a + b + √(a^2 + b^2)) =
= ((a + b)*√(a^2 + b^2) + (a + b)^2)/(a + b + √(a^2 + b^2)) =
= (a + b)*(√(a^2 + b^2) + a + b)/(a + b + √(a^2 + b^2)) =
= (a + b)*p/p =
= a + b
QED