[Risolto] Problema di geometria

@enrico200

Ciao e benvenuto. Adesso devo uscire, se posso al rientro (stasera) ti invierò la soluzione. Prova a concludere tu il problema ed eventualmente dicci le tue difficoltà a risolverlo spiegandoci i motivi.

Il problema è semplice anche se un po' lungo. Riprendo.

Retta per A e B:

(y - 6)/(x + 5) = (3 - 6)/(5 + 5)

risolvo rispetto a y: y = 9/2 - 3·x/10 eq. esplicita----->3·x + 10·y - 45 = 0 eq. implicita

retta r

Retta per A e C idem:

(y + 4)/(x - 0) = (6 + 4)/(-5 - 0)

risolvo rispetto a y:     y = - 2·x - 4 eq.esplicita---->2x+y+4=0 eq. implicita

Retta bisettrice del 1° e 3° quadrante: y=x------->  m=1

Retta per B con m =1

y - 3 = 1·(x - 5)------>y = x - 2 eq. esplicita---->-x+y+2=0

determinazione punto D:

{y = x - 2

{y = - 2·x - 4

Risolvo: x = - 2/3 ∧ y = - 8/3

Punti:

A(-5,6)

B(5,3)

D(-2/3,-8/3)

(-5,6) per la chiusura triangolo)

Calcolo area:(metodo dell'allacciamento delle scarpe!)

A = 1/2·ABS((-5)·3 + 5·(- 8/3) + (- 2/3)·6 - ((-5)·(- 8/3) + (- 2/3)·3 + 5·6))

A = 221/6  = 36.833

Calcolo del perimetro:

AB=√((5 + 5)^2 + (3 - 6)^2) = √10 = 10.440

AD=√((- 2/3 + 5)^2 + (- 8/3 - 6)^2) = 13·√5/3=9.690

DB=√((- 2/3 - 5)^2 + (- 8/3 - 3)^2) = 17·√2/3= 8.014

perimetro=10.44 + 9.69 + 8.014 = 28.144

*Per l'area ho utilizzato la formula dell'area di Gauss, un metodo molto efficace per questi esercizi. Volendo puoi anche fare il classico base*altezza/2

Caro Enrico, anzitutto benvenuto!
Poi un'avvertenza per favorire la leggibilità: NON METTERE gli accapo di fine riga (ci pensa già il browser), MA METTI TUTTI gli accapo di fine periodo/paragrafo.
Così il tuo testo sarebbe stato
«
Nel piano cartesiano, siano A(− 5, 6) e B(5, 3).
Trovare l'equazione della retta r passante per A e B.
Sia s la retta passante per A e per C(0, − 4) e sia t la retta passante per B e parallela alla bisettrice del I e III quadrante.
Calcolare il perimetro e l'area del triangolo i cui lati appartengono alle rette r, s e t.
»
e se ne sarebbe anche potuto migliorare un po' l'espressione
«
In un piano cartesiano Oxy, siano dati i punti
* A(− 5, 6), B(5, 3), C(0, − 4)
Si chiedono le equazioni delle tre rette
* r ≡ la congiungente A e B
* s ≡ la congiungente A e C
* t ≡ la parallela per B alla bisettrice dei quadranti dispari
Si chiedono inoltre le misure di perimetro e area dell'eventuale triangolo formato dalle tre rette.
»
Da tale espressione più sistematica si vedono bene le cose da ripassare.
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La retta AB congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: AB ≡ x = a
* per p = q: AB ≡ y = p
* per (p = k*a) & (q = k*b): AB ≡ y = k*x
* per a != b: AB ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)
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Dei tre punti in esame
* A(− 5, 6), B(5, 3), C(0, − 4)
non ce ne sono due allineati né coll'origine né su una retta coordinata, quindi per quelle richieste si applica la formula generale ottenendo
* r ≡ AB ≡ y = 9/2 - (3/10)*x
* s ≡ AC ≡ y = - 2*x - 4
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Per il punto P(w, h) passano tutte e sole le rette:
* x = w, parallela all'asse y;
* y = h + k*(x - w), per ogni pendenza k reale.
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La terza retta richiesta passa per B(5, 3) con pendenza uno (come y = x), quindi è
* t ≡ y = 3 + 1*(x - 5) ≡ y = x - 2
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Tre rette formano fascio se il loro sistema è determinato.
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* r & s & t ≡
≡ (y = 9/2 - (3/10)*x) & (y = - 2*x - 4) & (y = x - 2) ≡
≡ impossibile
quindi r & s & t, non formando fascio, formano triangolo.
Ti lascio il piacere di calcolare i tre vertici e il perimetro.
Per l'area ti suggerisco un ripasso che pochi libri riportano.
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Tre punti distinti formano triangolo se non sono allineati.
L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate (v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche )
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se i punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.