[Risolto] Equazioni differenziali del secondo ordine

yo(t) = C1e^t + C2 t e^t

Ti serve una soluzione particolare di  y'' - 2y' + y = e^t

Ti posso indicare un metodo

y'' - y' - y' + y = e^t

(y' - y)' - (y' - y) = e^t

u' - u = e^t

u'e^(-t) - ue^(-t)= e^t e^(-t)

(u e^(-t) )' = 1

u e^(-t) = t + C1

u = t e^t + C1 e^t

e poi ancora y' - y = t e^t

y' e^(-t) - y e^(-t) = t e^t e^(-t)+ C1 e^t e^(-t)

(y e^(-t))' = t + C1

y e^(-t) = t^2/2 + C1 t + C2

y = t^2/2 e^t + C1 t e^t + C2 e^t

y(0) = 1

1 = C2 => C2 = 1

y(t) = (t^2/2 + C1 t + 1) e^t

y'(t) = (t + C1 + t^2/2 + C1 t + 1 )e^t

ponendo t = 0

2 = (C1 + 1) e^0

C1 = 2 - 1 = 1

y(t) = (t^2/2 + t + 1) e^t

y(1) = (1/2 + 1 + 1) e^1 = 5/2 e

Non mi trovo con i risultati proposti dalla traccia. Ho controllato con wolframalpha, e mi trovo. Errore di battitura?

Senza rifare ciò che hai già fatto, il prodotto
* y(t) = (a*t + b)*e^t
soddisfà alla
* y'' - 2*y' + y = 0
e questa soluzione non si chiama "generale", ma "dell'omogenea associata"; mentre una soluzione particolare della
* y'' - 2*y' + y = e^t
è la
* y(t) = (t^2/2)*e^t
che si vede per ispezione (e qualche tentativo!) rammentando che
* d/dt e^t = e^t
* d/dt t^n = n*t^(n - 1)
e quindi
* y' = (t^2/2 + t)*e^t
* y'' = (t^2/2 + 2*t + 1)*e^t
* y'' - 2*y' + y =
= (t^2/2 + 2*t + 1)*e^t - 2*(t^2/2 + t)*e^t + (t^2/2)*e^t =
= (t^2/2 + 2*t + 1 - 2*t^2/2 - 2*t + t^2/2)*e^t =
= 1*e^t
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Per la linearità della derivata la soluzione generale è la somma
* y(t) = (a*t + b)*e^t + (t^2/2)*e^t ≡
≡ y(t) = (t^2/2 + a*t + b)*e^t
da cui
* y' = (t^2/2 + (a + 1)*t + a + b)*e^t
* y'' = (t^2/2 + (a + 2)*t + 2*a + b + 1)*e^t
La due costanti sono la soluzione del sistema delle condizioni iniziali
* (y(0) = 1) & (y'(0) = 2) ≡
≡ ((a*0 + b)*e^0 + (0^2/2)*e^0 = 1) & ((0^2/2 + (a + 1)*0 + a + b)*e^0 = 2) ≡
≡ (b = 1) & (a + b = 2) ≡
≡ (a = 1) & (b = 1)
------------------------------
INFINE, SE&O,
* y(t) = (t^2/2 + t + 1)*e^t
* y' = (t^2/2 + 2*t + 2)*e^t
* y'' = (t^2/2 + 3*t + 4)*e^t
la verifica te la scrivi da te, vero?