Nel triangolo rettangolo $A B C$, i cateti $A B$ e $A C$ misurano, rispettivamente, $a$ e $2 a$. Sia $Q _1$ il quadrato $A D E F$, inscritto in $A B C$, con il lato $A D$ su $A B, e _2$ il quadrato inscritto nel triangolo $F E C$, con un lato su FE. Determina la misura del lato di $Q _2$.
$\left[\frac{4}{9} a\right]$
53
punti
Livello 0
Considera i triangoli simili BDE e FEC. Affinché FE ed ED siano i lati di un quadrato, devono essere congruenti.
Possiamo scrivere la proporzione:
$ DB : DE = FE : FC$
Chiamiamo $x$ il lato del quadrato, quindi abbiamo:
$ (a-x) : x = x : (2a-x)$
da cui:
$ (a-x) * (2a-x) = x^2$
risolvendo per x:
$ 2a^2 -ax -2ax +x^2 = x^2$
$2a^2 -3ax = 0$
$ 3ax = 2a^2$
$ x = \frac{2a^2}{3a} = \frac{2}{3}a$
Ora dovremmo ripetere esattamente lo stesso procedimento per il quadrato più piccolo per ottenere analogamente che il lato del secondo quadrato, che chiamo L, sarà:
$ L = \frac{2}{3} x$
da cui si ha che:
$ L = \frac{2}{3} x = \frac{2}{3} \frac{2}{3} a = \frac{4}{9} a$
Noemi
9382
punti
Livello 5
