In un rettangolo ABCD di base AB l'altezza AD è 3a e la base è 3/2 dell'altezza. Da un punto P sul lato DA, traccia una retta parallela alla base che divida il rettangolo in due rettangoli in modo che i loro perimetri abbiano rapporto 7/5. Determina P.
$$
\left[\overline{A P}=\frac{1}{2} a \vee \overline{A P}=\frac{5}{2} a, \operatorname{con} a>0\right]
$$
AB=3/2 AD = 3/2 * 3 a = 9/2 a.
Le limitazioni geometriche dell'incognita AP sono
0 < AP < 3 a.
Sia R1 il rettangolo che sta "sopra" la detta parallela alla base e sia R2
il rettangolo che sta "sotto", quindi i rispettivi perimetri saranno
P1 = 2 (AB + AD - AP) = 2 (9/2 a + 3 a - AP) = 2 (15/2 a - AP),
P2 = 2 (AB + AP) = 2 (9/2 a + AP).
1) Sia P1/P2 = 7/5, così (15/2 a - AP) / (9/2 a + AP) = 7/5,
63/2 a + 7 AP = 75/2 a - 5 AP,
12 AP = 6 a,
AP = a/2.
2) Sia ora P2 / P1 = 7/5; quindi (9/2 a + AP) / (15/2 a - AP) = 7/5,
45/2 a + 5 AP = 105/2 a - 7 AP,
12 AP = 30 a,
AP = 5/2 a.
Notare che la somma delle due soluzioni è 3 a = AD.
532
punti
Livello 2
Con
* |AB| = b = (3/2)*h
* |BC| = h = 3*a
* |CD| = b = (3/2)*h = (9/2)*a
* |DA| = h = 3*a
* |AP| = |BQ| = x
* |PD| = |QC| = (h - x) = (3*a - x)
il problema diventa «Calcolare l'espressione del rapporto fra i perimetri di ABQP e di PQCD in fonzione delle variabili (x, a); imporre che valga 7/5 (o 5/7, a piacere); risolvere per x l'equazione che ne risulta.»
* p(ABQP) = 2*(b + x) = 2*((9/2)*a + x) = (9*a + 2*x)
* p(PQCD) = 2*(b + (3*a - x)) = 2*((9/2)*a + (3*a - x)) = (15*a - 2*x) > 0 per (a > 0) & (0 < x < 3*a)
* p(PQCD)/p(ABQP) = (15*a - 2*x)/(9*a + 2*x) = 7/5 ≡
≡ (15*a - 2*x)/(9*a + 2*x) - 7/5 = 0 ≡
≡ (a - 2*x)/(9*a + 2*x) = 0 ≡
≡ x = a/2 = h/6
OVVIAMENTE si sarebbe trovato x = 5*h/6 se si fosse scritto il rapporto all'imverso.
57798
punti
Genius I
