[Risolto] equazione della retta perpendicolare alla retta data

Ti risolvo il primo

Le coordinate del vertici del triangolo si ottengono mettendo a sistema due delle tre equazioni:

Coordinate di A:

{2·x + y - 6 = 0

{x - 2·y - 3 = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 3 ∧ y = 0]------>A(3,0)

Coordinate di B:

{2·x + y - 6 = 0

{2·x - y + 6 = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 6] ----> B(0,6)

Coordinate di C:

{2·x - y + 6 = 0

{x - 2·y - 3 = 0

Risolvo ed ottengo: [x = -5 ∧ y = -4] ------> C(-5,-4)

Il triangolo ABC è retto in A in quanto sono soddisfatte le condizioni di perpendicolarità relative alle rette che lo compongono: ciò si può osservare dai coefficienti delle equazioni:

a*a'+b*b'=0-------->2*1+1*(-2)=0 oppure risolvendole:

y = 6 - 2·x la prima; y = x/2 - 3/2 la seconda quindi m=-1/m' (m=-2 ed m'=1/2)

AB=√(3^2 + 6^2) = 3·√5  (cateto minore)

BC=√((-5 - 0)^2 + (-4 - 6)^2) = 5·√5 (ipotenusa)

AC=√((-5 - 3)^2 + (-4 - 0)^2) = 4·√5  (cateto maggiore)

perimetro= (3 + 4 + 5)·√5 = 12·√5   (26.83)

area=1/2·3·√5·4·√5 = 30

Ti faccio il secondo.

troviamo come prima cosa l'intersezione fra le rette

$4x-3y+9=0$ e $2x-5y+1=0$

prendendo la seconda e ricavando $2x$: $2x=5y-1$ e sostituendo nella prima:

$10y-2-3y+9=0$ --> $7y+7=0$ --> $y=-1$ e quindi $x=-3$

Il punto di intersezione è quindi $A(-3,-1)$

adesso prendiamo la retta $3x-2y-4=0$, scriviamola come $y=\frac{3}{2}x-2$. Questa retta ha coefficiente angolare 3/2, quindi le rette perpendicolari a tale retta devono avere coefficiente angolare -2/3 (il prodotto dei due coefficienti angolari deve fare $-1$)

Pertanto il fascio di rette improprio (rette parallele) perpendicolare alla retta data ha equazione:

$y=-\frac{2}{3}x+q$ 

Adesso si impone il passaggio per il punto $A$:

$-1=-\frac{2}{3}*(-3)+q$ --> $-1=2+q$ --> $q=-3$ 

La retta cercata ha quindi equazione:

$y=-\frac{2}{3}x-3$ 

Ti posto lo svolgimento della prima parte, se hai dubbi chiedi pure