Unità di misura: tempo, min; volume, L; portata volumica, L/min; massa, g; portata massica, g/min; concentrazione, g/L.
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La quantità di sale m(t) [m(t) come massa] nel recipiente all'istante "t" è la differenza fra quella immessa dall'istante zero all'istante t e quella emessa dall'istante zero all'istante t
* m(t) = W*(C*t - ∫ [u = 0, t] c(u)*du)
dove
* W = 1.5 = 3/2 L/min = portata volumica di immissione/emissione
* C = 350 g/L = concentrazione del flusso immesso
* c(t) = concentrazione nel serbatoio all'istante t
* c(0) = 0 = concentrazione nel serbatoio all'istante zero
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La variazione della concentrazione dc(t)/dt si ricava dalla miscelazione di
* W*dt = (3/2)*dt L con concentrazione C, cioè con C*W*dt = 525*dt g di soluto;
con
* (30 - (3/2)*dt) = (3/2)*(20 - dt) L con concentrazione c(t), cioè con (3/2)*(20 - dt)*c(t) g di soluto;
cioè
* dc(t) = (((3/2)*(20 - dt)*c(t) + 525*dt)/((3/2)*(20 - dt) + (3/2)*dt) - c(t)) = ((350 - c(t))/20)*dt
* dc(t)/dt = (350 - c(t))/20
da cui
* (c(0) = 0) & (c'(t) = (350 - c(t))/20) ≡
≡ c(t) = 350*(1 - e^(- t/20))
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QUINDI
* ∫ [u = 0, t] (350*(1 - e^(- u/20)))*du = 350*∫ [u = 0, t] ((1 - e^(- u/20)))*du =
= 350*(20*e^(- t/20) + t - 20)
* m(t) = W*(C*t - ∫ [u = 0, t] (350*(1 - e^(- u/20)))*du) =
= (3/2)*(350*t - 350*(20*e^(- t/20) + t - 20)) =
= 10500*(1 - e^(- t/20))
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RISPOSTE AI QUESITI, con
* m(t) = 10500*(1 - e^(- t/20))
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1) "Determina la quantità di sale dopo 5 minuti"
* m(5) = 10500*(1 - e^(- 5/20)) ~= 2322.6 g
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2) "Determina la quantità di sale dopo 30 minuti"
* m(30) = 10500*(1 - e^(- 30/20)) ~= 8157.1 g
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3) "Determina la quantità di sale dopo 1 ora"
* m(60) = 10500*(1 - e^(- 60/20)) ~= 9977.2 g
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APPENDICE: concentrazione delle miscele.
Miscelando
* v litri con concentrazione c, cioè con c*v g di soluto;
con
* V litri con concentrazione C, cioè con C*V g di soluto;
si ottiene nella miscela la media ponderata delle due concentrazioni, con pesi i volumi
* (c*v + C*V)/(v + V) = (v/(v + V))*c + (V/(v + V))*C
