Iperboli

Question

Considera il fascio di funzioni omografiche di equazione

$y=\frac{k x+3}{x+k-2} \quad k \in \mathbf{R}$

a. Determina per quali valori di k l'equazione rappresenta un'iperbole equilatera. }
b. Determina, se esistono, i punti base del fascio.
c. Determina l'iperbole $\gamma_{1}$ del fascio avente come asintoto la retta di equazione $y=1$ e l'iperbole $\gamma_{2}$ del fascio avente come asintoto la retta di equazione $x=4$
d. Traccia i grafici di $\gamma_{1}$ e $\gamma_{2}$ e determina i loro punti di intersezione.
e. Determina le tangenti a $\gamma_{1}$ e $\gamma_{2}$ nel loro punto di intersezione del primo quadrante.
f. Determina le rette parallele all'asse $x$ che intersecano $\gamma_{1}$ e $\gamma_{2}$ rispettivamente nei punti $A$ e $B$, tali che $\overline{A B}=9$.

Ho allegato la foto dell'esercizio con cui ho problemi. Grazie in anticipo

Autore

Risposta

Tony

(@tony)

8 punti

livello:

Livello 0

4 Risposte
3 0 1

02/09/2020 16:50

Sebastiano · Accepted Answer

È sempre un'iperbole equilatera tranne i casi in cui si la conica si spezza in due rette. Detto in altre parole, tranne i casi in cui il numeratore e il denominatore si semplificano.

chiamando $m$ il coefficiente di proporzionalità fra numeratore e denominatore si può scrivere:

$kx+3=m(x+k-2)=mx+m(k-2)$

e quindi uguagliando

$kx=mx$ --> $m=k$

sapendo questo

$3=m(k-2)=k(k-2)=k^2-2k$ e quindi $k^2-2k-3=0$ che ha soluzioni

$k_1=-1$ e $k_2=3$

Quindi per tutti i valori di $k$ esclusi $-1$ e $3$

b) assegna due valori a $k$, tipo $k=0$ e $k=2$.

Risultano due curve:

$y=\frac{3}{x-2}$ e

$y=\frac{2x+3}{x}$

per trovare le intersezioni deve essere

$\frac{3}{x-2}=\frac{2x+3}{x}$ ovvero

$3x=(2x+3)(x-2)=2x^2-x-6$ --> $2x^2-4x-6=0$ --> $x^2-2x-3=0$

le cui soluzioni sono $x_1=-1$ e $x_2=3$

a cui corrispondono

$y_1=-1$ e $y_2=3$

quindi i candidati ad essere punti base sono $A(-1,-1)$ e $B(3,3)$

Proviamo $A$:

$-1=\frac{-k+3}{-1+k-2}=\frac{3-k}{k-3}=-1$ cvd

Proviamo $B$:

$3=\frac{3k+3}{3+k-2}=\frac{3(k+1)}{k+1}=3$ cvd.

Gli altri punti prova da solo e dicci dove sono i dubbi

Sebastiano

(@sebastiano)

16302 punti

livello:

Livello 9

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7 1031 1307

02/09/2020 18:09

[Risolto] Iperboli

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