[Risolto] Aiuto compiti geometria piana

dato che centro e fuochi hanno la stessa ordinata, anche i vertici avranno la stessa ordinata. Quindi si può ragionare su un'iperbole identica ma traslata, avente centro nell'origine, la cui equazione è:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

in particolare, traslando $C$ in $O$, risulta che i vertici andranno a finire in

$V_1=(2,0)$  e  $V_2=(-2,0)$

questo in quanto l'asse trasverso misura 4, e l'asse trasverso è la distanza fra i vertici.

Quindi sapendo i vertici si conosce $a$, dato che $V_1=(a,0)$  e  $V_2=(-a,0)$

Quindi $a=2$

I fuochi si traslano in $F_1=(\sqrt{5},0)$ e $F_2=(-\sqrt{5},0)$

e sapendo che $F_1=(c,0)$ e $F_2=(-c,0)$ dove $c=\sqrt{a^2+b^2}$ si ottiene

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}$ e quindi $b=1$

pertanto abbiamo l'equazione:

$\frac{x^2}{4}-y^2=1$ ovvero $x^2-4y^2=4$

Adesso si trasla nuovamente l'iperbole in modo da portare $O$ in $C$:

$x'=x+1$  --> $x=x'-1$

$y'=y-1$   --> $y=y'+1$

sostituendo:

$(x'-1)^2-4(y'+1)^2=4$ 

volendo togliere gli apici:

$(x-1)^2-4(y+1)^2=4$ 

Relativamente alla seconda domanda, si tratta chiaramente di un'omotetia di rapporto $k=2$, le cui equazioni ripsetto ad un punto fisso $C(x_C,y_C)$ sono date da:

$\begin{cases} x'=k(x-x_C)+x_C \\ y'=k(y-y_C)+y_C  \end{cases}$

nel nostro caso $C(1,-1)$ quindi:

$\begin{cases} x'=2(x-1)+1 \\ y'=2(y+1)-1  \end{cases}$

ovvero, svolgendo:

$\begin{cases} x'=2x-1 \\ y'=2y+1  \end{cases}$

post cancellato (mi dispiace ma non sono capace di eliminarlo completamente)...