[Risolto] Problema di geometria 2 superiore

l'area A di un rettangolo è 300 cm^2 e la lunghezza d della diagonale è 25 cm. determina le lunghezze dei lati a e b del triangolo. La mia prof ha detto che dobbiamo risolverlo utilizzando i sistemi. ( soluzioni:15,20 cm)

{h*b = 300

{h^2+b^2 = 25^2 

h = 300/b

300^2/b^2 +b^2 = 625

300^2+b^4 = 625b^2

b^2 = (625±√625^2-360.000 )/2 = (625±175)/2 = 225 ; 400

b = √400 = 20 cm

h = √250 = 15 cm 

..o più banalmente : 25/5 = 5 , vale a dire 5 volte il maggiore della prima terna pitagorica 3;4;5 e tali che 3^2+4^2 = 5^2 

i valori cercati per h e per b sono 3*5 = 15 e 4*5 = 20 

$si~metta~a~sistema~:$
$x^2+y^2=625$

$xy=300$

$y=300/x$
$sostituendo~:$

$x^2+(300/x)^2=625$
$x^2+90000/x^2-625=0$
$x^4+90000-625x^2=0$

$(x^2-225)(x^2-400)=0$
$x^2= 225$ => $x=15$
$x^2= 400$ => $x=20$

$sostituendo~risulterà:$

$15y=300$ =>$y=20$
$20y=300$ => $y=15$

$infine:$
$(x_1;y_1)= (15;20)$
$(x_2;y_2)= (20;15)$

Area = 300 cm^2;

base = x;

h = y;

x * y = 300; (area)  (1)

x^2 + y^2 = 25^2;  (2);  (teorema di Pitagora);

y = 300 / x;

x^2 + (300/x)^2 = 625;

x^2 + 300^2 /x^2 = 625;

x^4 + 300^2 = 625x^2

x^4 - 625x^2 + 90000 = 0;

chiamiamo x^2 = k; l'equazione di 4° grado diventa di 2° grado.

k^2 - 625k + 90000 = 0,

k = [625 +- radice(625^2 - 4 *90000)] / 2;

k = [625 +-radice(30625)] / 2;

k = [625 +- 175] /2;

k1 = [625 + 175] /2 = 400;

k2 = [625 - 175] / 2 = 225; 

x^2 = 400;

x1 = radicequadrata(400) = 20 cm;

x2 = radicequadrata(225) = 15 cm;

y1 = 300 /20 = 15 cm;

y2 = 300 / 15 = 20 cm;

le soluzioni sono 15 cm e 20 cm.

base e altezza si possono scambiare;

l'area è sempre 300 cm^2 e la diagonale rimane 25 cm.

@serenaalbanese  ciao.