[Risolto] Problema di fisica (moto parabolico)

Un giocatore calcia un pallone verso la porta che si trova a d = 16,8 m di distanza. Il pallone si stacca dal suo piede con velocità di modulo Vo = 16,0 m/s in una direzione che forma 30,0° con il suolo. 

Calcola il modulo della velocità V del pallone quando il portiere lo afferra subito prima che entri in porta.

Uno sketch ti aiuterà a capire

condizioni iniziali 

modulo velocità iniziale Vo = 16.0 m/s

angolo Θo = 30°

Componente orizzontale di Vo = Vox = Vo*cos 30° = 16*0,866 = 13,86 m/s

Componente verticale di Vo = Voy = Vo*sen 30° = 16*0,5 = 8,00 m/s 

Considerazioni sul moto parabolico 

La generica componente orizzontale della velocità Vgx rimane costante e pari a Vox per tutta la traiettoria parabolica, pertanto al momento in cui la palla sta per varcare la linea di porta , la componente orizzontale Vx (in verde) vale Vox (13,86 m/s), e questo ci permette di calcolare il tempo di volo del pallone 

moto orizzontale

tempo di volo t = d/Vox = 16,8 m / 13,86 m/s = 1,212 s

moto verticale

h = Voy*t-g/2*t^2

h = 8,00*1,212-9,806/2*1,212^2 = 2,49 m 

Conservazione dell'energia 

m/2*Vo^2 = m/2*V^2+m*g*h

semplificando la massa m e moltiplicando per 2 :

V = √Vo^2-2gh = √16^2-19,612*2,49 = 14,4 m/s 

Per tutti gli esercizi di cinematica del punto materiale si comincia dallo scrivere, ma SOPRATTUTTO DAL PENSARE, "punto materiale" al posto di qualsiasi oggetto mobile sia nominato in narrativa. Quindi
«
Un punto materiale, soggetto alla gravità terrestre, si lancia con velocità V = 16 m/s e alzo θ = 30°.
Si chiede il modulo della velocità a 16.8 = 84/5 m di distanza.
»
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Una volta che ci si siano chiarite le idee sui risultati richiesti e i dati forniti il secondo passo è la consultazione del libro di testo per ricopiare il modello matematico generale per la categoria cui appartiene il problema dello specifico esercizio (l'hai riconosciuta, spero! La categoria è "moto parabolico sotto gravità".)
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I passi successivi sono:
* particolarizzare il modello generale per lo specifico esercizio;
* manipolare il modello particolare ottenuto per ottenere i risultati richiesti (determinati o indeterminati) o per dimostrarne l'impossibilità;
* esibire risultati e/o dimostrazioni.
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Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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RISOLUZIONE
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Con i valori
* h = 0 (pallone al suolo)
* V = 16 m/s (dato)
* θ = 30° (dato)
si ha
* x(t) = 16*cos(30°)*t = (8*√3)*t
* y(t) = 0 + (16*sin(30°) - (g/2)*t)*t = (8 - (g/2)*t)*t
* vx(t) = 8*√3
* vy(t) = 8 - g*t
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All'istante T > 0 si ha
* x(T) = (8*√3)*T = 84/5 m
da cui
* T = 7*√3/10 s
* vy(T) = 8 - (196133/20000)*7*√3/10 = (1600000 - 1372931*√3)/200000 m/s
* |v(T)| = √((8*√3)^2 + ((1600000 - 1372931*√3)/200000)^2) =
= √(15894818592283 - 4393379200000*√3)/200000 ~=
~= 14.392066 ~= 14.4 m/s