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[Risolto] ESERCIZIO DI FISICA

  

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Una sfera conduttrice di raggio R1 possiede una quantit`a di carica Q. Tale sfera
`e racchiusa da una corona sferica conduttrice concentrica, di raggi interno R2
ed esterno R3. Calcolare l’espressione del campo elettrico in tutto lo spazio, le
densit`a di cariche indotte sulla corona sferica e il potenziale della corona sferica.
(Q = −7 nC,R1 = 4 cm,R2 = 7 cm,R3 = 8 cm.)

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Sia la sfera che il guscio sono conduttori, per cui la carica si trova solamente sulle superfici esterne. 

Possiamo già dire inoltre che all'interno dei due conduttori, quindi per $0<r< R_1$ e per $R_2 < r < R_3$ il campo è nullo.

Nota che anche per $r=R_2$ il campo si annulla dato che la carica interna è nulla: infatti sulla sfera interna è distribuita una carica $+q$, che provoca una polarizzazione del guscio per cui una carica $-q$ si distribuisce sulla superficie interna del guscio e una carica $+2q$ su quella esterna (in modo che $-q+2q$= q che è la carica totale sul guscio).

Questo ci dice anche che la densità di carica indotta è:

$ \sigma = \frac{-q}{4\pi R_2^2}$

sulla superficie interna e

$ \sigma = \frac{2q}{4\pi R_3^2}$

su quella esterna.

 

Per $R_1 \leq r < R_2$ basta applicare il teorema di Gauss:

$\Phi(E) = \frac{Q}{\epsilon_0}$

e tenendo conto della simmetria sferica:

$ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}$

da cui

$ E(r)  = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

Analogamente per $r \geq R_3$ abbiamo:

$ E(r)  = \frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

dove cambia solo il fatto che la carica totale da considerare è $q+q=2q$

Per quanto riguarda il potenziale della corona sferica abbiamo:

$\Delta V = - \int_{R_3}^{R_2} E dr$

sostituendo l'espressione del campo elettrico:

$ \Delta V = -\int_{R_3}^{R_2} \frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} dr$

$ \Delta V = -\bigg[-\frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r}\bigg]_{R_3}^{R_2}$

$ \Delta V = \frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 R_2}-\frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 R_3}$

Noemi



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