Sia la sfera che il guscio sono conduttori, per cui la carica si trova solamente sulle superfici esterne.
Possiamo già dire inoltre che all'interno dei due conduttori, quindi per $0<r< R_1$ e per $R_2 < r < R_3$ il campo è nullo.
Nota che anche per $r=R_2$ il campo si annulla dato che la carica interna è nulla: infatti sulla sfera interna è distribuita una carica $+q$, che provoca una polarizzazione del guscio per cui una carica $-q$ si distribuisce sulla superficie interna del guscio e una carica $+2q$ su quella esterna (in modo che $-q+2q$= q che è la carica totale sul guscio).
Questo ci dice anche che la densità di carica indotta è:
$ \sigma = \frac{-q}{4\pi R_2^2}$
sulla superficie interna e
$ \sigma = \frac{2q}{4\pi R_3^2}$
su quella esterna.
Per $R_1 \leq r < R_2$ basta applicare il teorema di Gauss:
$\Phi(E) = \frac{Q}{\epsilon_0}$
e tenendo conto della simmetria sferica:
$ E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}$
da cui
$ E(r) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$
Analogamente per $r \geq R_3$ abbiamo:
$ E(r) = \frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$
dove cambia solo il fatto che la carica totale da considerare è $q+q=2q$
Per quanto riguarda il potenziale della corona sferica abbiamo:
$\Delta V = - \int_{R_3}^{R_2} E dr$
sostituendo l'espressione del campo elettrico:
$ \Delta V = -\int_{R_3}^{R_2} \frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} dr$
$ \Delta V = -\bigg[-\frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 r}\bigg]_{R_3}^{R_2}$
$ \Delta V = \frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 R_2}-\frac{2q}{4 \pi \epsilon_0 R_3}$
Noemi