Una sfera di raggio $R$ con densità di carica $-\rho$ è circondata da un guscio sferico compreso tra il raggio $\mathrm{R}$ e 2R (come mostrato in figura) con densità $\rho$. Determinare:
- la carica totale della distribuzione;
- a che distanza dal centro il campo elettrico è nullo (trascurando il punto centrale o l'infinito);
[Dati del problema: $R=1 \mathrm{~m}, \rho=10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m}^3$ ]
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Livello 1
1. Carica totale della distribuzione:
Per la sfera di raggio \( R \) con densità \( -\rho \):
\[ Q_{\text{sfera}} = -\frac{4}{3}\pi R^3 \rho = -\frac{4}{3}\pi (1 \, \text{m})^3 (10^{-6} \, \text{C/m}^3) \]
\[ Q_{\text{sfera}} = -\frac{4}{3}\pi \times 10^{-6} \, \text{C} \]
Per il guscio sferico tra \( R \) e \( 2R \) con densità \( \rho \):
\[ Q_{\text{guscio}} = \frac{4}{3}\pi (2R)^3 \rho - \frac{4}{3}\pi R^3 \rho \]
\[ Q_{\text{guscio}} = \frac{4}{3}\pi (2 \, \text{m})^3 (10^{-6} \, \text{C/m}^3) - \frac{4}{3}\pi (1 \, \text{m})^3 (10^{-6} \, \text{C/m}^3) \]
\[ Q_{\text{guscio}} = \frac{4}{3}\pi \times (8 - 1) \times 10^{-6} \, \text{C} \]
\[ Q_{\text{guscio}} = \frac{28}{3}\pi \times 10^{-6} \, \text{C} \]
La carica totale sarà quindi:
\[ Q = Q_{\text{sfera}} + Q_{\text{guscio}} = -\frac{4}{3}\pi \times 10^{-6} + \frac{28}{3}\pi \times 10^{-6} \]
\[ Q = \frac{8}{3}\pi \times 10^{-6} \, \text{C} \]
2. Distanza dal centro in cui il campo elettrico è nullo:
Eguagliamo le cariche con segni opposti:
\[ -\frac{4}{3}\pi R^3 \rho = \frac{4}{3}\pi (2R)^3 \rho - \frac{4}{3}\pi R^3 \rho \]
\[ -\frac{4}{3}\pi (1 \, \text{m})^3 (10^{-6} \, \text{C/m}^3) = \frac{4}{3}\pi (2 \, \text{m})^3 (10^{-6} \, \text{C/m}^3) - \frac{4}{3}\pi (1 \, \text{m})^3 (10^{-6} \, \text{C/m}^3) \]
\[ -\frac{4}{3}\pi \times 10^{-6} = \frac{4}{3}\pi \times (8 - 1) \times 10^{-6} - \frac{4}{3}\pi \times 10^{-6} \]
Risolvendo questa equazione otteniamo la distanza \( r \).
Spero di non aver commesso errori. Nel caso non risultasse fammi sapere. Ciao!
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Livello 1
@newton non ho capito come nel secondo punto dall'equazione che hai scritto possa dare un valore di r, puoi spiegare come ci arrivi? grazie
