Problema di fisica

Consideriamo una particella di massa a riposo $m$ in moto unidimensionale lungo l'asse $x$.

- Quantità di moto relativistica: $p = \gamma m v$
- Fattore di Lorentz: $\gamma = (1 - \beta^2)^{-1/2}$, con $\beta = v/c$
- Forza applicata (parallela al moto): $F = \frac{dp}{dt}$

Per non complicarsi troppo la vita, conviene prima ricavarsi la derivata temporale del fattore di Lorentz, $\frac{d\gamma}{dt}$, applicando la regola della catena:
$$\frac{d\gamma}{dt} = \frac{d}{dt} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-1/2} = -\frac{1}{2}\left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} \cdot \left( - \frac{2v}{c^2} \frac{dv}{dt} \right)$$
Semplificando il $2$ e ricordando che $\frac{dv}{dt} = a$ (accelerazione) e che $(1 - \beta^2)^{-3/2} = \gamma^3$, otteniamo il lemma fondamentale:
$$\frac{d\gamma}{dt} = \gamma^3 \frac{v a}{c^2}$$
Ora calcoliamo la forza applicando la regola di derivazione del prodotto a $F = \frac{d}{dt}(\gamma m v)$:
$$F = m \frac{d}{dt}(\gamma v) = m \left( \frac{d\gamma}{dt} v + \gamma \frac{dv}{dt} \right)$$
Sostituiamo il termine $\frac{d\gamma}{dt}$ ricavato poco fa e l'accelerazione $a$:
$$F = m \left( \gamma^3 \frac{v^2 a}{c^2} + \gamma a \right)$$
Raccogliamo il termine comune $\gamma m a$:
$$F = \gamma m a \left( \gamma^2 \frac{v^2}{c^2} + 1 \right) = \gamma m a (\gamma^2 \beta^2 + 1)$$
A questo punto sfruttiamo l'identità relativistica notevole $\gamma^2 \beta^2 + 1 = \gamma^2$.
(dimostrazione rapida rapida: $\frac{\beta^2}{1-\beta^2} + 1 = \frac{\beta^2 + 1 - \beta^2}{1-\beta^2} = \frac{1}{1-\beta^2} = \gamma^2$).

Sostituendo la parentesi tonda con $\gamma^2$, arriviamo subito al risultato finale:
$$F = \gamma m a (\gamma^2) \implies F = m \gamma^3 a$$

Quindi concludendo:
Isolando l'accelerazione in funzione della velocità, troviamo:
$$a(\beta) = \frac{F}{m \gamma^3}$$
All'istante iniziale, con particella in quiete ($v=0 \implies \beta=0 \implies \gamma=1$), l'accelerazione "classica" è semplicemente:
$$a_0 = \frac{F}{m}$$
Facendo il rapporto tra le due, si dimostra la tesi:
$$\frac{a(\beta)}{a_0} = \frac{F / (m \gamma^3)}{F / m} = \frac{1}{\gamma^3}$$
C.V.D.

Fammi sapere se ti è stata utile e se per te ha senso 🙂