gdomettia solida nello spazio

1. Calcolo dell'area totale
L'area della base $A_b$ (triangolo equilatero) è:

$$\begin{aligned}
A_b &= \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (6a)^2 \\
&= 9a^2\sqrt{3}
\end{aligned}$$

L'altezza $h$ della piramide si ricava dalla formula del volume:

$$\begin{aligned}
V &= \frac{1}{3} A_b h \implies 18a^3\sqrt{3} = \frac{1}{3} (9a^2\sqrt{3}) h \\
h &= \frac{18a^3\sqrt{3}}{3a^2\sqrt{3}} = 6a
\end{aligned}$$

L'apotema della base $r$ (raggio del cerchio inscritto) è $r = \frac{s}{2\sqrt{3}} = \frac{6a}{2\sqrt{3}} = a\sqrt{3}$.

L'apotema della piramide $a_p$ si trova con il teorema di Pitagora:

$$\begin{aligned}
a_p &= \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(6a)^2 + (a\sqrt{3})^2} \\
&= \sqrt{36a^2 + 3a^2} = \sqrt{39a^2} = a\sqrt{39}
\end{aligned}$$

L'area laterale $A_l$ e l'area totale $A_t$ sono:

$$\begin{aligned}
A_l &= \frac{3s \cdot a_p}{2} = \frac{3(6a)(a\sqrt{39})}{2} = 9a^2\sqrt{39} \\
A_t &= A_b + A_l = 9a^2\sqrt{3} + 9a^2\sqrt{39} = 9(\sqrt{3} + \sqrt{39})a^2
\end{aligned}$$

2. Piano che divide la piramide in due parti equivalenti

Sia $x$ la distanza del piano dal vertice. Il rapporto tra il volume della piramide piccola $V'$ e quello totale $V$ è pari al cubo del rapporto tra le altezze:

$$\begin{aligned}
\frac{V'}{V} &= \left( \frac{x}{h} \right)^3 = \frac{1}{2} \\
x &= h \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = 6a \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = 6a \frac{\sqrt[3]{4}}{2} = 3a\sqrt[3]{4}
\end{aligned}$$

3. Massimizzazione della superficie totale del prisma

Sia $x$ la distanza del piano dal vertice. Il lato della sezione è $s_x = s \frac{x}{h} = 6a \frac{x}{6a} = x$. L'altezza del prisma è $H = h - x = 6a - x$.

Area base prisma: $A_x = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$.

Perimetro base prisma: $P_x = 3x$.

Area totale prisma $S(x)$:

$$\begin{aligned}
S(x) &= 2 A_x + P_x H = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \right) + 3x(6a - x) \\
&= \frac{\sqrt{3}}{2} x^2 + 18ax - 3x^2 = \left( \frac{\sqrt{3} - 6}{2} \right) x^2 + 18ax
\end{aligned}$$
Per massimizzare, calcoliamo la derivata $S'(x) = (\sqrt{3} - 6)x + 18a$ e poniamola uguale a zero:

$$\begin{aligned}
(\sqrt{3} - 6)x + 18a &= 0 \implies x = \frac{18a}{6 - \sqrt{3}} \\
x &= \frac{18a(6 + \sqrt{3})}{36 - 3} = \frac{18(6 + \sqrt{3})a}{33} = \frac{6}{11}(6 + \sqrt{3})a
\end{aligned}$$
4. Raggio della sfera circoscritta

Il raggio $R$ della sfera circoscritta a una piramide regolare è dato da $R = \frac{b^2}{2h}$, dove $b$ è lo spigolo laterale.

Calcoliamo il raggio del cerchio circoscritto alla base $R_b = \frac{s}{\sqrt{3}} = \frac{6a}{\sqrt{3}} = 2a\sqrt{3}$.

Lo spigolo laterale $b$ è: $b^2 = h^2 + R_b^2 = (6a)^2 + (2a\sqrt{3})^2 = 36a^2 + 12a^2 = 48a^2$.

Il raggio della sfera è:

$$R = \frac{b^2}{2h} = \frac{48a^2}{2(6a)} = \frac{48a^2}{12a} = 4a$$