Angoli e sistemi di riferimento
Una sbarra solidale ad un sistema di riferimento $S^{\prime}$ ha lunghezza propria $L^{\prime}$ e forma un angolo $\theta^{\prime}$ rispetto l'asse $0^{\prime} x^{\prime} .$ Il sistema $S^{\prime}$ si muove rispetto a un riferimento $S$, solidale con il laboratorio, a una velocità $\vec{v}$.
a. Nel caso in cui il fattore $\beta=\frac{v}{c}$ valga $3 / 5$, determina la lunghezza $L$ della sbarra rispetto a $S$ in relazione a $L^{\prime}$ e a $\theta^{\prime}$.
b. Determina l'angolo $\theta$ che la sbarra forma con l'asse $0 x$ nel caso in cui $v$ sia una velocità generica. Calcola poi l'angolo $\theta$ quando si ha $\theta=15^{\circ}, 0 v=c / 2$, e $L=1,50 \mathrm{~m} .$
c. Dato un angolo $\theta^{\prime}$ compreso tra $0^{\circ}$ e $45^{\circ}$, vogliamo studiare se è possibile che si ottenga la condizione $\theta=2 \theta^{\prime}$. A questo proposito, dimostra che la relazione tra e ricavata in precedenza si può riscrivere come
$$
\frac{2 \cos ^{2} \theta^{\prime}}{2 \cos ^{2} \theta^{\prime}-1}=\gamma
$$
d. Basandoti sulla formula precedente, dimostra che la condizione $\theta=2 \theta^{\prime}$ può essere soddisfatta solo se il fattore di dilatazione $\gamma$ è maggiore o uguale di $2 .$
