Verificare l'esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}(x)-3(\operatorname{cotg} x) y(x)=\sin ^{4} x \\
y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1
\end{array}\right.
$$
e stabilire se sia di tipo locale o globale.
In seguito, calcolare esplicitamente la soluzione.
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Livello 0
Sulla prima parte devi verificare se la lipschitzianità uniforme della funzione vale globalmente
Per la ricerca della soluzione passi per l'omogenea associata e la variazione delle costanti
y' - 3 cos x/sin x * y = 0
dy/y = 3 (cos x / sin x) dx
ln |y| = 3 ln | sin x | + C
ln (y/sin^3(x)) = C
y = C sin^3(x)
Cerco la soluzione particolare nella forma
y(x) = u(x) sin^3(x)
e sostituendo risulta
u' sin^3(x) + u 3 sin^2(x) cos x - 3 cos x / sin x * u sin^3(x) = sin^4(x)
u' sin^3(x) = sin^4(x)
u' = sin x
u(x) = - cos x + C'
y(x) = - sin^3(x) cos x + C' sin^3(x)
imponendo la condizione iniziale y(TT/2) = 1
1 = - 1*0 + C' * 1^3
C = 1
y°(x) = sin^3(x) *(1 - cos x)
e mi sembra che sia valida globalmente.
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Livello 7
diamo a Cesare quel che è di Cesare ed a Cauchy quel che è di Cauchy 😊😉
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Genius III
